Sabe-se que o gráfico da função abaixo tem f(3)=0 e é da forma
f(x)=\ln (k x)
Qual o valor de k ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função é f(x)=\ln(kx).
  • Sabe-se que f(3)=0.
    A pergunta é: encontrar o valor de k.
Além disso, informação relevante sobre domínio: para \ln(kx) estar definida em x=3 é necessário que kx>0 em x=3, ou seja 3k>0, portanto k>0.

Passo 2

Lembrete útil sobre a função logarítmica natural:
  • A função \ln(\cdot) é a inversa da exponencial e^{(\cdot)}.
    Isto significa que, se \ln(A)=B, então necessariamente A=e^{B}.
  • Em particular, se \ln(A)=0 então A=e^{0}=1. Exemplo simples: \ln(1)=0.

Passo 3

Aplicando isso ao problema, substituímos x=3 em f(x) e usamos f(3)=0:
\ln(3k)=0.
Pelo item anterior, isso implica
3k = e^{0} = 1.

Passo 4

Resolvendo para k:
k = \frac{1}{3}.
Verificação rápida: com k=\dfrac{1}{3} temos 3k=1 e \ln(1)=0, que é exatamente f(3)=0. Também k>0 como exigido pelo domínio.

Passo 5

Dica rápida para a prova: sempre que aparecer \ln(\text{algo})=0, imediatamente saiba que esse “algo” vale 1. É um atalho prático.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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