Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial y^prime prime+5 y^prime+6 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1)=0 e l y2(1)=0 y2^prime(1)=1
Escolha uma opção:
y1(t)=-2 e^-2(t-1)+3 e^-3(t-1) e y2(t)=-e^-2(t-1)+e^-3(t-1)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto fundamental de soluções da EDO y'' + 5y' + 6y = 0 que satisfaçam as condições em t=1: para y1 queremos y1(1)=1, y1'(1)=0 e para y2 queremos y2(1)=0, y2'(1)=1. Vamos usar a equação característica para achar a solução geral e depois ajustar as constantes.

Passo 2

A equação característica é r^2 + 5r + 6 = 0. Suas raízes são r1 = -2 e r2 = -3. Logo a solução geral pode ser escrita, com deslocamento s = t-1, como y(t) = C1 e^-2(t-1) + C2 e^-3(t-1).

Passo 3

Para encontrar y1, impomos:
y1(1)=1 C1 + C2 = 1
y1'(t) = -2C1 e^-2(t-1) -3C2 e^-3(t-1), então y1'(1)=0 -2C1 - 3C2 = 0.
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 12C1 + 3C2 = 0
obtém-se C1 = 3 e C2 = -2.

Passo 4

Para encontrar y2, impomos:
y2(1)=0 C1 + C2 = 0
y2'(1)=1 -2C1 - 3C2 = 1.
Multiplicando esta última por -1) 2C1 + 3C2 = -1. Resolvend o sistema
C1 + C2 = 02C1 + 3C2 = -1
chega-se a C1 = 1 e C2 = -1.

Passo 5

Portanto as soluções fundamentais ajustadas em t=1 são obtidas substituindo os valores de C1 e C2 em cada caso.

Resposta

y_{1}(t)=3e{-2(t-1)}-2e{-3(t-1)},\quad y_{2}(t)=e{-2(t-1)}-e{-3(t-1)}

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