Encontre o conjunto fundamental de soluções
para equação diferencial
que satisfaçam as condições
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A tarefa é encontrar um conjunto fundamental de soluções, ou seja, duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ que resolvem essa equação e que atendem a condições iniciais específicas:
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e do método de solução usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
Para resolver isso, a gente assume uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar essa equação:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, as soluções gerais da equação diferencial são:
Essas duas funções são soluções independentes e formam o conjunto fundamental de soluções.
Passo 5
Agora, precisamos ajustar essas soluções para que satisfaçam as condições iniciais dadas.
Para $ y_1(t) $:
Mas a condição é $ y_1’(0) = 0 $. Isso significa que precisamos combinar as soluções para ajustar as condições iniciais.
Passo 6
Vamos considerar uma combinação linear das soluções:
Precisamos encontrar $ A $ e $ B $ para que as condições iniciais sejam satisfeitas.
Para $ y_1(t) $:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo em $ A + B = 1 $:
Então, a solução $ y_1(t) $ é:
Passo 7
Agora, para $ y_2(t) $:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, $ A = -B $. Substituindo na segunda:
Então, $ A = 1 $.
Portanto, a solução $ y_2(t) $ é:
Resposta
O conjunto fundamental de soluções é dado por