Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para equação diferencial
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(0)=1 y1^prime(0)=0 e l y2(0)=0 y2^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 3y' + 2y = 0
A tarefa é encontrar um conjunto fundamental de soluções, ou seja, duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ que resolvem essa equação e que atendem a condições iniciais específicas:
y1
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e do método de solução usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
y'' + 3y' + 2y = 0
Para resolver isso, a gente assume uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
y = e^rt

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0
Podemos fatorar essa equação:
(r + 1)(r + 2) = 0
Então, as raízes são:
r1 = -1 e r2 = -2

Passo 4

Com as raízes encontradas, as soluções gerais da equação diferencial são:
y1(t) = e^-t e y2(t) = e^-2t
Essas duas funções são soluções independentes e formam o conjunto fundamental de soluções.

Passo 5

Agora, precisamos ajustar essas soluções para que satisfaçam as condições iniciais dadas.
Para $ y_1(t) $:
y1(t)
y1(0) = e^0 = 1
Mas a condição é $ y_1’(0) = 0 $. Isso significa que precisamos combinar as soluções para ajustar as condições iniciais.

Passo 6

Vamos considerar uma combinação linear das soluções:
y(t) = A e^-t + B e^-2t
Precisamos encontrar $ A $ e $ B $ para que as condições iniciais sejam satisfeitas.
Para $ y_1(t) $:
A
B
Resolvendo o sistema:
y1(t)
Somando as duas equações:
y1(0) = A + B = 1
Substituindo em $ A + B = 1 $:
y1'(t) = -A e^-t - 2B e^-2t Rightarrow y1'(0) = -A - 2B = 0
Então, a solução $ y_1(t) $ é:
A + B = 1 -A - 2B = 0

Passo 7

Agora, para $ y_2(t) $:
y2(t)
y2(0) = A + B = 0
Resolvendo o sistema:
y2'(0) = -A - 2B = 1
Da primeira equação, $ A = -B $. Substituindo na segunda:
A + B = 0 -A - 2B = 1
Então, $ A = 1 $.
Portanto, a solução $ y_2(t) $ é:
A = -B

Resposta

O conjunto fundamental de soluções é dado por
y1(t) = 2 e^-t - e^-2t, y2(t) = e^-t - e^-2t

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