Encontre o valor de e^a sabendo que a satisfaz a igualdade
lim x +infty(x+ax-a)^x=4
Dica: Use o Teorema de LHôspital.

Passo 1

Vamos resolver um limite que envolve potências e crescimento exponencial. O exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular limites que têm expressões do tipo (x+ax-a)^x e aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos o limite dado:
lim x +infty(x+ax-a)^x=4
Queremos encontrar e^a, então precisamos manipular esse limite para isolarmos a.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Dividindo o numerador e o denominador por x:
x+ax-a = 1 + ax1 - ax
Quando x tende a infinito, ax tende a 0, então a expressão se aproxima de 1+01-0 = 1.

Passo 4

Para resolver o limite que está na forma indeterminada 1^infty, usamos a propriedade:
limx to infty (1 + bx)^x = e^b
Vamos reescrever a expressão dentro do limite para aplicar essa propriedade.

Passo 5

Reescrevendo a fração:
1 + ax1 - ax = 1 + 2ax - a
Para x grande, isso é aproximadamente:
1 + 2ax
Então, nosso limite fica:
limx to infty (1 + 2ax)^x = e^2a

Passo 6

Sabemos que esse limite é igual a 4:
e^2a = 4
Para encontrar a, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
2a = ln(4)
a = ln(4)2

Passo 7

Queremos encontrar e^a, então substituímos a:
e^a = e^ln(4)2 = raize^ln(4) = raiz4 = 2

Resposta

O valor de e^a é 2.

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