Encontre o valor de
sabendo que
satisfaz a igualdade
Dica: Use o Teorema de LHôspital.
Passo 1
Vamos resolver um limite que envolve potências e crescimento exponencial. O exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular limites que têm expressões do tipo
e aplicar o Teorema de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, observamos o limite dado:
Queremos encontrar
, então precisamos manipular esse limite para isolarmos
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Dividindo o numerador e o denominador por
:
Quando
tende a infinito,
tende a 0, então a expressão se aproxima de
.
Passo 4
Para resolver o limite que está na forma indeterminada
, usamos a propriedade:
Vamos reescrever a expressão dentro do limite para aplicar essa propriedade.
Passo 5
Reescrevendo a fração:
Para
grande, isso é aproximadamente:
Então, nosso limite fica:
Passo 6
Sabemos que esse limite é igual a 4:
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Passo 7
Queremos encontrar
, então substituímos
:
Resposta
O valor de
é
.