Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M(2 \times 2) ; a-d=0, c=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2} : a-d=0,\;c=0\right\}.
O conteúdo aqui é parametrizar matrizes sujeitas às condições lineares a-d=0 e c=0.

Passo 2

Impondo a-d=0 e c=0, toda matriz em W tem a forma
\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & d\end{pmatrix} \quad\text{com }d=a,
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\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & a\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora escrevemos essa matriz como combinação linear de matrizes fixas. Note que
\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Isso mostra que todo elemento de W é combinação linear de \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Resposta

\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right\}
é um conjunto de geradores (na verdade base) de W.]

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