Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=0 \quad\right. e \,\left.-x+w=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x - y = 0,\;-x + w = 0\}.
O conteúdo é resolução de sistema linear para escrever vetores gerais de W em termos de parâmetros e, a partir daí, extrair um conjunto de geradores.

Passo 2

Das equações
x - y = 0 \quad\text{e}\quad -\,x + w = 0
segue-se
y = x \quad\text{e}\quad w = x.
A variável z não aparece nas equações, logo é livre.

Passo 3

Introduzimos parâmetros para as variáveis livres. Seja
s = x, \quad t = z.
Então
y = s, \quad w = s, \quad z = t.

Passo 4

O vetor genérico de W fica
(x,y,z,w) = (s,\,s,\,t,\,s).
Podemos reescrever
(s,\,s,\,t,\,s) = s\,(1,1,0,1) + t\,(0,0,1,0).

Passo 5

Os vetores (1,1,0,1) e (0,0,1,0) geram todo W. Além disso, são linearmente independentes, formando portanto uma base (e, em particular, um conjunto de geradores).

Resposta

\{(1,1,0,1),\,(0,0,1,0)\}.

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