Encontre o conjunto solução das seguintes equações exponenciais, reduzindo ambos os lados à mesma base ou utilizando substituição de variáveis:
Passo 1
O enunciado fornece a equação exponencial e pede o conjunto-solução:
Informações relevantes dadas:
- A base é
(número positivo diferente de ). - A incógnita aparece no expoente:
. - O lado direito é
, a raiz quadrada de .
Passo 2
Entender o lado direito como potência: a raiz quadrada pode ser escrita como exposição racional. Lembrar a definição:
Aplicando ao caso:
Passo 3
Reescrever a equação substituindo a raiz por potência. Assim obtemos uma igualdade entre potências com a mesma base
:
Passo 4
Usar a propriedade básica das potências: se
,
e
então necessariamente
Aqui a base é
e
, logo podemos igualar os expoentes:
Passo 5
Resolver a equação linear em
. Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Verificação rápida substituindo na equação original:
portanto a solução é válida. Observação sobre unicidade: como funções exponenciais com base
e
são injetoras em expoente, não há outras soluções.
Passo 7
(Método alternativo curtinho — substituição) Pode-se também fazer
(com
), então a equação vira
Daí
(descartando solução negativa porque
), e voltando
resulta em
. Mesmo resultado.