Encontre o conjunto solução das seguintes equações exponenciais, reduzindo ambos os lados à mesma base ou utilizando substituição de variáveis:
\quad 7^{2 x}=\sqrt{7}

Passo 1

O enunciado fornece a equação exponencial e pede o conjunto-solução:
7^{2x}=\sqrt{7}.
Informações relevantes dadas:
  • A base é 7 (número positivo diferente de 1).
  • A incógnita aparece no expoente: 2x.
  • O lado direito é \sqrt{7}, a raiz quadrada de 7.

Passo 2

Entender o lado direito como potência: a raiz quadrada pode ser escrita como exposição racional. Lembrar a definição:
\sqrt{a}=a^{1/2}\quad\text{para }a\ge0.
Aplicando ao caso:
\sqrt{7}=7^{1/2}.

Passo 3

Reescrever a equação substituindo a raiz por potência. Assim obtemos uma igualdade entre potências com a mesma base 7:
7^{2x}=7^{1/2}.

Passo 4

Usar a propriedade básica das potências: se a>0, a\neq1 e
a^{u}=a^{v},
então necessariamente
u=v.
Aqui a base é 7>0 e 7\neq1, logo podemos igualar os expoentes:
2x=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Resolver a equação linear em x. Dividindo ambos os lados por 2:
x=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Verificação rápida substituindo na equação original:
7^{2x}=7^{2\cdot(1/4)}=7^{1/2}=\sqrt{7},
portanto a solução é válida. Observação sobre unicidade: como funções exponenciais com base >0 e \neq1 são injetoras em expoente, não há outras soluções.

Passo 7

(Método alternativo curtinho — substituição) Pode-se também fazer y=7^{x} (com y>0), então a equação vira
y^{2}=\sqrt{7}=7^{1/2}.
Daí y=7^{1/4} (descartando solução negativa porque y>0), e voltando 7^{x}=7^{1/4} resulta em x=1/4. Mesmo resultado.

Resposta

x=\dfrac{1}{4}

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