Encontre a convolução f(t) \star g(t) em cada um dos itens.
f(t)=t e g(t)=e^{t};

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule a convolução de
f(t)=t
e
g(t)=e^{t}
Usaremos a definição de convolução causal, ou seja, assumindo que f(t)=0 e g(t)=0 para t<0. Em sinais causais,
(f \star g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Aplicando a definição ao nosso caso, temos
(f \star g)(t) =\int_{0}^{t}\tau\,e^{\,t-\tau}\,d\tau.

Passo 3

Como e^{\,t-\tau}=e^{t}\,e^{-\tau}, podemos tirar e^{t} da integral:
(f \star g)(t) =e^{t}\int_{0}^{t}\tau\,e^{-\tau}\,d\tau.

Passo 4

Calculemos
I=\int_{0}^{t}\tau\,e^{-\tau}\,d\tau
por partes. Seja
u=\tau,\quad dv=e^{-\tau}d\tau
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du=d\tau,\quad v=-e^{-\tau}.
Então
I =\Bigl[-\tau\,e^{-\tau}\Bigr]_{0}^{t} +\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,d\tau =-t\,e^{-t}+0 +\Bigl[-e^{-\tau}\Bigr]_{0}^{t} =-t\,e^{-t}-e^{-t}+1 =1-(t+1)e^{-t}.

Passo 5

Substituindo em (f\star g)(t)=e^{t}\,I
(f \star g)(t) =e^{t}\bigl[1-(t+1)e^{-t}\bigr] =e^{t}-(t+1).

Resposta

(f \star g)(t)=e^{t}-t-1.

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