Encontre a convolução f(t) \star g(t) em cada um dos itens.
f(t)=\sin (t) e g(t)=\sin (t);

Passo 1

Resumindo: temos duas funções f(t)=\sin(t) e g(t)=\sin(t), assumidas causais (isto é, nulas para t<0), e queremos o produto de convolução
(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
O conteúdo principal é o uso de identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Escrevemos a integral de convolução e aplicamos a identidade
\sin(a)\,\sin(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr].
Aqui a=\tau e b=t-\tau, então
\sin(\tau)\,\sin(t-\tau) =\tfrac12\bigl[\cos(2\tau - t)-\cos(t)\bigr].
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(f * g)(t) =\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau =\tfrac12\int_{0}^{t}\cos(2\tau - t)\,d\tau -\tfrac12\int_{0}^{t}\cos(t)\,d\tau.

Passo 3

Calculemos primeiro
\int_{0}^{t}\cos(2\tau - t)\,d\tau.
Fazendo a substituição u=2\tau - t, temos du=2\,d\tau, e quando \tau=0 vem u=-t, quando \tau=t vem u= t. Assim
\int_{0}^{t}\cos(2\tau - t)\,d\tau =\int_{u=-t}^{u=t}\cos(u)\,\frac{du}{2} =\tfrac12\bigl[\sin(u)\bigr]_{-t}^{t} =\tfrac12\bigl(\sin t-\sin(-t)\bigr) =\sin t.

Passo 4

Agora
\int_{0}^{t}\cos(t)\,d\tau
é imediato, pois \cos(t) não depende de \tau. Assim
\int_{0}^{t}\cos(t)\,d\tau =t\cos(t).

Passo 5

Voltando à decomposição da convolução:
(f * g)(t) =\tfrac12\Bigl[\sin t - t\cos t\Bigr].
Portanto, para t\ge0,
(f * g)(t) =\tfrac12\,\sin t \;-\;\tfrac12\,t\cos t,
e para t<0 vale zero.

Resposta

(f * g)(t) =\begin{cases} \tfrac12\,\sin t \;-\;\tfrac12\,t\cos t, & t\ge0,\\\\ 0, & t<0. \end{cases}

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