Encontre as coordenadas do ponto P=(4,3,-1) em relação ao novo sistema de coordenadas cuja origem coincide com a origem (0,0,0) e cuja base é dada pelos vetores (1,2,-1),(3,0,4) e (0,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o ponto P=(4,3,-1) em relação à base \{\,\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\} do espaço, onde
\mathbf v_1=(1,2,-1),\quad \mathbf v_2=(3,0,4),\quad \mathbf v_3=(0,-1,1).
Isso é um problema de mudança de base: encontrar os coeficientes (\alpha,\beta,\gamma) tais que
P=\alpha\,\mathbf v_1+\beta\,\mathbf v_2+\gamma\,\mathbf v_3.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igualando componentes:
\alpha(1,2,-1)+\beta(3,0,4)+\gamma(0,-1,1)=(4,3,-1).

Passo 3

Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+3\beta+0\gamma=4,\\\\ 2\alpha+0\beta-\gamma=3,\\\\ -\,\alpha+4\beta+\gamma=-1. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação temos
\gamma=2\alpha-3.
Substituindo na terceira equação:
-\,\alpha+4\beta+(2\alpha-3)=-1\quad\Longrightarrow\quad \alpha+4\beta=2.

Passo 5

Agora temos o sistema em \alpha e \beta:
\begin{cases} \alpha+3\beta=4,\\\ \alpha+4\beta=2. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(\alpha+3\beta)-(\alpha+4\beta)=4-2\quad\Longrightarrow\quad -\beta=2\quad\Longrightarrow\quad \beta=-2.
Então
\alpha=4-3\beta=4-3(-2)=10.

Passo 6

Finalmente, de \gamma=2\alpha-3 segue
\gamma=2\cdot10-3=17.

Resposta

As coordenadas de P na nova base são (\alpha,\beta,\gamma)=(10,\,-2,\;17).

Exercícios relacionados