Encontre as coordenadas do ponto P=(4,3,-1) em relação ao novo sistema de coordenadas cuja origem coincide com a origem (0,0,0) e cuja base é dada pelos vetores ortonormais u_{1}= \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right), u_{2}=\left(\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) e u_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do ponto P=(4,3,-1) no novo sistema de coordenadas que tem origem em (0,0,0) e base ortonormal dada por u_{1}, u_{2} e u_{3}. Como a base é ortonormal, cada coordenada de P nesse sistema é o produto interno de P com o vetor de base correspondente.

Passo 2

Calculamos a primeira coordenada usando
c_{1} = P \cdot u_{1}
ou seja
c_{1} = (4,3,-1)\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2},0\Bigr) =4\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)+(-1)\cdot0 =(4-3)\,\tfrac{\sqrt{2}}{2} =\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Calculamos a segunda coordenada usando
c_{2} = P \cdot u_{2}
ou seja
c_{2} = (4,3,-1)\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt{6}}{6},\tfrac{\sqrt{6}}{6},-\tfrac{\sqrt{6}}{3}\Bigr) =4\,\tfrac{\sqrt{6}}{6}+3\,\tfrac{\sqrt{6}}{6}+(-1)\bigl(-\tfrac{\sqrt{6}}{3}\bigr) =\tfrac{7\sqrt{6}}{6}+\tfrac{\sqrt{6}}{3} =\tfrac{7\sqrt{6}}{6}+\tfrac{2\sqrt{6}}{6} =\tfrac{9\sqrt{6}}{6} =\tfrac{3\sqrt{6}}{2}.

Passo 4

Calculamos a terceira coordenada usando
c_{3} = P \cdot u_{3}
ou seja
c_{3} = (4,3,-1)\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3}\Bigr) =4\,\tfrac{\sqrt{3}}{3}+3\,\tfrac{\sqrt{3}}{3}+(-1)\,\tfrac{\sqrt{3}}{3} =\tfrac{(4+3-1)\sqrt{3}}{3} =\tfrac{6\sqrt{3}}{3} =2\sqrt{3}.

Resposta

As coordenadas de P no novo sistema são
\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{3\sqrt{6}}{2},\;2\sqrt{3}\Bigr).

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