Encontre as correntes sobre todos os elementos do circuito usando análise de malhas. Apresente os cálculos. Anotar os módulos na tabela abaixo e indicar os sentidos das correntes de ramo no desenho.
Elemento
\mathbf{V}_{12 \mathbf{v}}
\mathbf{V}_{6 \mathbf{v}}
\mathbf{R} \mathbf{1}
\mathbf{\mathbf { R } _ { 2 }}
\mathbf{\mathbf { R } _ { 3 }}
\mathbf{\mathbf { R } _ { 4 }}
\mathbf{R}_{\mathbf{5}}
Módulo da corrente
& & & & & &
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos (peguei estes valores da figura enviada).
O enunciado pede: encontrar as correntes em todos os elementos do circuito usando análise de malhas e anotar os módulos (magnitudes). Os elementos pedidos, na ordem da tabela, são:
\mathbf{V}_{12\mathbf{v}} (a fonte de 12\\ \mathrm{V}),
\mathbf{V}_{6\mathbf{v}} (a fonte de 6\\ \mathrm{V}),
\mathbf{R1},
\mathbf{R2},
\mathbf{R3},
\mathbf{R4},
\mathbf{R5}.
Informações relevantes extraídas da figura (usei estes números na resolução):
\,R_1 = 100\\ \Omega.
\,R_2 = 50\\ \Omega.
\,R_3 = 75\\ \Omega.
\,R_4 = 56\\ \Omega.
\,R_5 = 56\\ \Omega.
Fonte entre A e C: 12\\ \mathrm{V} (polaridade com + em A, - em C).
Fonte entre B e D: 6\\ \mathrm{V} (o desenho mostra - em B e + em D).
Topologia (do desenho): nós principais A,B,C,D e os elementos conectados conforme a figura.
O objetivo agora é aplicar análise de malhas (escolhendo malhas que cobrem todas as faces do grafo planar) e obter as correntes de ramo. No próximo passo eu explico a ideia da análise de malhas e defino as correntes de malha que usarei.
Passo 2
Conceito e escolha das malhas (aula rápida e intuitiva).
Ideia da análise de malhas: escolhemos correntes de malha (uma corrente por cada face independente do circuito planar), escrevemos a equação de KVL em cada malha. Quando um componente é compartilhado por duas malhas, a queda de tensão nele depende da diferença entre as correntes das duas malhas.
Cada resistência R apresenta uma queda de tensão v=R\cdot i, onde i é a corrente que efetivamente atravessa essa resistência. Se uma resistência é atravessada por duas correntes de malha I_a e I_b em sentidos opostos, a queda em função da malha a é R(I_a-I_b). Se ambas atravessam no mesmo sentido, a corrente efetiva é soma.
Vou desenhar mentalmente quatro malhas independentes (o circuito tem 7 ramos e 4 nós, logo E-N+1=4 malhas independentes). Nomeio as correntes de malha, todas no sentido horário (convencional para facilitar sinais):
I_1: malha do topo (passa por R_3, pela fonte de 6\\ \mathrm{V}, por R_2).
I_2: malha do canto superior-direito / direita (passa por R_3, por R_5, por R_4, e pela fonte de 12\\ \mathrm{V} entre C e A).
I_3: malha inferior-esquerda (passa por R_2, por R_4, por R_1).
I_4: malha pequena à esquerda (pequena face formada pelos ramos R_1 e a fonte de 12\\ \mathrm{V} entre A e C).
Observações de sentido (como indicar no desenho):
Para cada elemento eu direi, na resolução, qual a direção adotada positiva para a corrente de ramo (por exemplo, para R_1 adotarei o sentido de A para C). Depois calculo o valor (se negativo, significa sentido contrário).
As correntes de malha são variáveis auxiliares; a corrente real num ramo que é parte de duas malhas é obtida combinando as malhas que atravessam esse ramo (ex.: corrente em R_2 = I_3 - I_1 se I_3 atravessa no sentido A \to D e I_1 no sentido contrário).
Passo 3
Escrever as equações de KVL para cada malha (montagem das equações).
Primeiro, anoto novamente os valores que usei (vindos da figura): R_1=100\\ \Omega,\; R_2=50\\ \Omega,\; R_3=75\\ \Omega,\; R_4=56\\ \Omega,\; R_5=56\\ \Omega,\; V_{12}=12\\ \mathrm{V},\; V_{6}=6\\ \mathrm{V}.
Agora as equações. Vou escolher o sentido horário para todas as malhas; aplico KVL somando quedas resistivas (cada queda = resistência × diferença de correntes das malhas que atravessam) e incluindo as fontes com sinal adequado (quando se percorre a fonte do pólo + para o pólo - há uma queda igual ao valor da fonte).
Malha 1 (I_1): percorre R_3 (compartilhada com I_2), percorre fonte 6\\ \mathrm{V} (do nó B para D no desenho vai de - para +, portanto atravessando-a no sentido da malha obtemos uma subida de tensão; no KVL isso aparece como -6 ao lado de quedas). e percorre R_2 (compartilhada com I_3). A equação KVL é:
R_3(I_1-I_2) + R_2(I_1-I_3) - 6 = 0.
Substituindo valores:
75(I_1-I_2) + 50(I_1-I_3) = 6.
Simplificando:
125\,I_1 -75\,I_2 -50\,I_3 = 6.
Malha 2 (I_2): percorre R_3 (compartilhada com I_1), R_5 (só I_2), R_4 (compartilhada com I_3) e a fonte 12\\ \mathrm{V} (entre C e A; ao percorrê-la no sentido escolhido da malha passa-se de - para +, o que corresponde a uma subida de +12\\ \mathrm{V} — na KVL é escrito como -12 quando somamos quedas). A equação:
R_3(I_2-I_1) + R_5 I_2 + R_4(I_2-I_3) - 12 = 0.
Substituindo:
75(I_2-I_1) + 56 I_2 + 56(I_2-I_3) = 12.
Simplificando:
-75\,I_1 +187\,I_2 -56\,I_3 = 12.
Malha 3 (I_3): percorre R_2 (com I_1), R_4 (com I_2), R_1 (com I_4). Não passa por fontes (nesta malha em particular). A equação:
R_2(I_3-I_1) + R_4(I_3-I_2) + R_1(I_3-I_4) = 0.
Substituindo:
50(I_3-I_1) + 56(I_3-I_2) + 100(I_3-I_4) = 0.
Que dá:
-50\,I_1 -56\,I_2 +206\,I_3 -100\,I_4 = 0.
Malha 4 (I_4): a malha pequena com R_1 e a fonte de 12\\ \mathrm{V}. Percorrendo A \to R_1 \to C \to bateria \to A. A KVL é:
R_1(I_4-I_3) - 12 = 0.
Ou:
100(I_4-I_3) = 12.
Equivalente:
-100\,I_3 +100\,I_4 = 12.
Essas quatro equações formam um sistema linear 4×4 nas incógnitas I_1,I_2,I_3,I_4.
Passo 4
Resolver o sistema (passo a passo de álgebra, sem pular contas).
Faço eliminação gaussiana (mostro os passos aritméticos essenciais):
Usando a primeira equação como pivô, elimino I_1\] de eq.2 e eq.3:
- Para eq.2 adiciono \[0{,}6 vezes a eq.1 (porque -75/125 = -0{,}6 e faço eq.2 − (−0{,}6)·eq.1):
- eq.2 torna-se: 0\cdot I_1 +142\cdot I_2 -86\cdot I_3 = 15{,}6.
Para eq.3 adiciono 0{,}4 vezes a eq.1 (porque -50/125 = -0{,}4):
Calcular as correntes reais nos ramos (combinar correntes de malha). Vou adotar os seguintes sentidos positivos para cada ramo ao reportar os resultados (coerente com a notação e com o desenho):
Para ramos entre A e C (R_1 e a fonte de 12\\ \mathrm{V}): adoto o sentido A \to C como positivo.
Para o ramo R_2 entre A e D: adoto A \to D positivo.
Para R_3 entre A e B: adoto A \to B positivo.
Para R_4 entre C e D: adoto C \to D positivo.
Para R_5 e a fonte de 6\\ \mathrm{V} entre B e D: adoto B \to D positivo.
Agora as combinações (mostrando por que cada fórmula é aquela):
Corrente em R_1 (A\to C). R_1 está no contorno comum das malhas I_3 e I_4. Em I_3 a travessia de R_1 foi de C para A, enquanto em I_4 foi de A para C. Assim
Corrente através da fonte de 12\\ \mathrm{V} (A\to C positivo). As malhas que percorrem a fonte são I_2 e I_4; ambas atravessam a fonte do nó C para A (ver definição das malhas), portanto a corrente real do ramo da fonte do ponto C para A é
I_{\text{fonte }12}(\,C\to A) = I_2 + I_4.
Como eu adotei A\to C como positivo, então
I_{V_{12\mathrm{v}}} = - (I_2 + I_4) \quad\text{(sinal negativo indica direção real é \(C\to A\))}.çãé
Corrente em R_4 (C\to D positivo). R_4 é comum a I_2 e I_3; em ambas as malhas a travessia foi do nó D para C (isto é, sentido D\to C), portanto a corrente real no sentido D\to C é I_2+I_3. Em nosso referencial C\to D positivo:
Direção real: D \to C (oposta ao sentido que escolhi como positivo).
Corrente em R_5 (B\to D positivo). R_5 pertence somente à malha I_2 (não é compartilhada na modelagem das malhas que escolhemos), então
I_{R5} = I_2 \approx 0{,}535714\\ \mathrm{A}.
Corrente através da fonte de 6\\ \mathrm{V} (ramo B \to D positivo). A fonte de 6\\ \mathrm{V} está somente na malha I_1 no nosso desenho de malhas, então a corrente por ela é I_1. Logo: