Encontre as correntes sobre todos os elementos do circuito usando análise de malhas. Apresente os cálculos. Anotar os módulos na tabela abaixo e indicar os sentidos das correntes de ramo no desenho.
Elemento
\mathbf{V}_{12 \mathbf{v}}
\mathbf{V}_{6 \mathbf{v}}
\mathbf{R} \mathbf{1}
\mathbf{\mathbf { R } _ { 2 }}
\mathbf{\mathbf { R } _ { 3 }}
\mathbf{\mathbf { R } _ { 4 }}
\mathbf{R}_{\mathbf{5}}
Módulo da corrente & & & & & &

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos (peguei estes valores da figura enviada).
O enunciado pede: encontrar as correntes em todos os elementos do circuito usando análise de malhas e anotar os módulos (magnitudes). Os elementos pedidos, na ordem da tabela, são:
  • \mathbf{V}_{12\mathbf{v}} (a fonte de 12\\ \mathrm{V}),
  • \mathbf{V}_{6\mathbf{v}} (a fonte de 6\\ \mathrm{V}),
  • \mathbf{R1},
  • \mathbf{R2},
  • \mathbf{R3},
  • \mathbf{R4},
  • \mathbf{R5}.
Informações relevantes extraídas da figura (usei estes números na resolução):
  • \,R_1 = 100\\ \Omega.
  • \,R_2 = 50\\ \Omega.
  • \,R_3 = 75\\ \Omega.
  • \,R_4 = 56\\ \Omega.
  • \,R_5 = 56\\ \Omega.
  • Fonte entre A e C: 12\\ \mathrm{V} (polaridade com + em A, - em C).
  • Fonte entre B e D: 6\\ \mathrm{V} (o desenho mostra - em B e + em D).
  • Topologia (do desenho): nós principais A,B,C,D e os elementos conectados conforme a figura.
O objetivo agora é aplicar análise de malhas (escolhendo malhas que cobrem todas as faces do grafo planar) e obter as correntes de ramo. No próximo passo eu explico a ideia da análise de malhas e defino as correntes de malha que usarei.

Passo 2

Conceito e escolha das malhas (aula rápida e intuitiva).
  • Ideia da análise de malhas: escolhemos correntes de malha (uma corrente por cada face independente do circuito planar), escrevemos a equação de KVL em cada malha. Quando um componente é compartilhado por duas malhas, a queda de tensão nele depende da diferença entre as correntes das duas malhas.
  • Cada resistência R apresenta uma queda de tensão v=R\cdot i, onde i é a corrente que efetivamente atravessa essa resistência. Se uma resistência é atravessada por duas correntes de malha I_a e I_b em sentidos opostos, a queda em função da malha a é R(I_a-I_b). Se ambas atravessam no mesmo sentido, a corrente efetiva é soma.
  • Vou desenhar mentalmente quatro malhas independentes (o circuito tem 7 ramos e 4 nós, logo E-N+1=4 malhas independentes). Nomeio as correntes de malha, todas no sentido horário (convencional para facilitar sinais):
    • I_1: malha do topo (passa por R_3, pela fonte de 6\\ \mathrm{V}, por R_2).
    • I_2: malha do canto superior-direito / direita (passa por R_3, por R_5, por R_4, e pela fonte de 12\\ \mathrm{V} entre C e A).
    • I_3: malha inferior-esquerda (passa por R_2, por R_4, por R_1).
    • I_4: malha pequena à esquerda (pequena face formada pelos ramos R_1 e a fonte de 12\\ \mathrm{V} entre A e C).
Observações de sentido (como indicar no desenho):
  • Para cada elemento eu direi, na resolução, qual a direção adotada positiva para a corrente de ramo (por exemplo, para R_1 adotarei o sentido de A para C). Depois calculo o valor (se negativo, significa sentido contrário).
  • As correntes de malha são variáveis auxiliares; a corrente real num ramo que é parte de duas malhas é obtida combinando as malhas que atravessam esse ramo (ex.: corrente em R_2 = I_3 - I_1 se I_3 atravessa no sentido A \to D e I_1 no sentido contrário).

Passo 3

Escrever as equações de KVL para cada malha (montagem das equações).
Primeiro, anoto novamente os valores que usei (vindos da figura): R_1=100\\ \Omega,\; R_2=50\\ \Omega,\; R_3=75\\ \Omega,\; R_4=56\\ \Omega,\; R_5=56\\ \Omega,\; V_{12}=12\\ \mathrm{V},\; V_{6}=6\\ \mathrm{V}.
Agora as equações. Vou escolher o sentido horário para todas as malhas; aplico KVL somando quedas resistivas (cada queda = resistência × diferença de correntes das malhas que atravessam) e incluindo as fontes com sinal adequado (quando se percorre a fonte do pólo + para o pólo - há uma queda igual ao valor da fonte).
Malha 1 ( I_1): percorre R_3 (compartilhada com I_2), percorre fonte 6\\ \mathrm{V} (do nó B para D no desenho vai de - para +, portanto atravessando-a no sentido da malha obtemos uma subida de tensão; no KVL isso aparece como -6 ao lado de quedas). e percorre R_2 (compartilhada com I_3). A equação KVL é:
R_3(I_1-I_2) + R_2(I_1-I_3) - 6 = 0.
Substituindo valores:
75(I_1-I_2) + 50(I_1-I_3) = 6.
Simplificando:
125\,I_1 -75\,I_2 -50\,I_3 = 6.
Malha 2 ( I_2): percorre R_3 (compartilhada com I_1), R_5 (só I_2), R_4 (compartilhada com I_3) e a fonte 12\\ \mathrm{V} (entre C e A; ao percorrê-la no sentido escolhido da malha passa-se de - para +, o que corresponde a uma subida de +12\\ \mathrm{V} — na KVL é escrito como -12 quando somamos quedas). A equação:
R_3(I_2-I_1) + R_5 I_2 + R_4(I_2-I_3) - 12 = 0.
Substituindo:
75(I_2-I_1) + 56 I_2 + 56(I_2-I_3) = 12.
Simplificando:
-75\,I_1 +187\,I_2 -56\,I_3 = 12.
Malha 3 ( I_3): percorre R_2 (com I_1), R_4 (com I_2), R_1 (com I_4). Não passa por fontes (nesta malha em particular). A equação:
R_2(I_3-I_1) + R_4(I_3-I_2) + R_1(I_3-I_4) = 0.
Substituindo:
50(I_3-I_1) + 56(I_3-I_2) + 100(I_3-I_4) = 0.
Que dá:
-50\,I_1 -56\,I_2 +206\,I_3 -100\,I_4 = 0.
Malha 4 ( I_4): a malha pequena com R_1 e a fonte de 12\\ \mathrm{V}. Percorrendo A \to R_1 \to C \to bateria \to A. A KVL é:
R_1(I_4-I_3) - 12 = 0.
Ou:
100(I_4-I_3) = 12.
Equivalente:
-100\,I_3 +100\,I_4 = 12.
Essas quatro equações formam um sistema linear 4×4 nas incógnitas I_1,I_2,I_3,I_4.

Passo 4

Resolver o sistema (passo a passo de álgebra, sem pular contas).
Escrevendo o sistema completo numérico:
\begin{cases} 125\,I_1 -75\,I_2 -50\,I_3 + 0\,I_4 = 6,\\[4pt] -75\,I_1 +187\,I_2 -56\,I_3 + 0\,I_4 = 12,\\[4pt] -50\,I_1 -56\,I_2 +206\,I_3 -100\,I_4 = 0,\\[4pt] 0\,I_1 +0\,I_2 -100\,I_3 +100\,I_4 = 12. \end{cases}
Da última equação (malha 4) isolamos I_4\): \[-100\,I_3 +100\,I_4 = 12 \quad\Rightarrow\quad I_4 = I_3 + \frac{12}{100} = I_3 + 0{,}12.
Substituo I_4 na equação 3:
-50\,I_1 -56\,I_2 +206\,I_3 -100(I_3+0{,}12) = 0.
Isto dá:
-50\,I_1 -56\,I_2 +206\,I_3 -100\,I_3 -12 = 0
\Rightarrow -50\,I_1 -56\,I_2 +106\,I_3 = 12.
Agora o sistema reduzido (três equações, três incógnitas I_1,I_2,I_3):
\begin{cases} 125\,I_1 -75\,I_2 -50\,I_3 = 6,\\[4pt] -75\,I_1 +187\,I_2 -56\,I_3 = 12,\\[4pt] -50\,I_1 -56\,I_2 +106\,I_3 = 12. \end{cases}
Faço eliminação gaussiana (mostro os passos aritméticos essenciais):
  1. Usando a primeira equação como pivô, elimino I_1\] de eq.2 e eq.3: - Para eq.2 adiciono \[0{,}6 vezes a eq.1 (porque -75/125 = -0{,}6 e faço eq.2 − (−0{,}6)·eq.1):
    - eq.2 torna-se: 0\cdot I_1 +142\cdot I_2 -86\cdot I_3 = 15{,}6.
  • Para eq.3 adiciono 0{,}4 vezes a eq.1 (porque -50/125 = -0{,}4):
    • eq.3 torna-se: 0\cdot I_1 -86\cdot I_2 +86\cdot I_3 = 14{,}4.
Agora o sistema reduzido é:
\begin{cases} 142\,I_2 -86\,I_3 = 15{,}6,\\[4pt] -86\,I_2 +86\,I_3 = 14{,}4. \end{cases}
  1. Somando as duas equações (elimina (I_3]):
    (142-86)\,I_2 + 0\cdot I_3 = 15{,}6 + 14{,}4
56\,I_2 = 30 \quad\Rightarrow\quad I_2 = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} = 0{,}535714\\ \mathrm{A}.
  1. Uso a segunda linha reduzida para achar I_3:
-86\,I_2 +86\,I_3 = 14{,}4 \quad\Rightarrow\quad I_3 - I_2 = \frac{14{,}4}{86}.
I_3 = I_2 + \frac{14{,}4}{86} = 0{,}535714 + 0{,}16744186 \approx 0{,}703156\\ \mathrm{A}.
  1. Encontro I_1 pela primeira equação original:
125\,I_1 = 6 + 75\,I_2 + 50\,I_3.
Cálculo numérico:
125\,I_1 = 6 + 75(0{,}535714) + 50(0{,}703156) \approx 81{,}336379,
I_1 \approx \frac{81{,}336379}{125} \approx 0{,}650690\\ \mathrm{A}.
  1. Volto a I_4 = I_3 + 0{,}12:
I_4 \approx 0{,}703156 + 0{,}12 = 0{,}823156\\ \mathrm{A}.
Resumo das correntes de malha (sentido horário em cada malha):
I_1 \approx 0{,}650690\\ \mathrm{A},\quad I_2 \approx 0{,}535714\\ \mathrm{A},\quad I_3 \approx 0{,}703156\\ \mathrm{A},\quad I_4 \approx 0{,}823156\\ \mathrm{A}.]

Passo 5

Calcular as correntes reais nos ramos (combinar correntes de malha). Vou adotar os seguintes sentidos positivos para cada ramo ao reportar os resultados (coerente com a notação e com o desenho):
  • Para ramos entre A e C ( R_1 e a fonte de 12\\ \mathrm{V}): adoto o sentido A \to C como positivo.
  • Para o ramo R_2 entre A e D: adoto A \to D positivo.
  • Para R_3 entre A e B: adoto A \to B positivo.
  • Para R_4 entre C e D: adoto C \to D positivo.
  • Para R_5 e a fonte de 6\\ \mathrm{V} entre B e D: adoto B \to D positivo.
Agora as combinações (mostrando por que cada fórmula é aquela):
  • Corrente em R_1 ( A\to C). R_1 está no contorno comum das malhas I_3 e I_4. Em I_3 a travessia de R_1 foi de C para A, enquanto em I_4 foi de A para C. Assim
I_{R1} = I_4 - I_3.
Substituindo:
I_{R1} \approx 0{,}823156 - 0{,}703156 = 0{,}120000\\ \mathrm{A}.
  • Corrente através da fonte de 12\\ \mathrm{V} ( A\to C positivo). As malhas que percorrem a fonte são I_2 e I_4; ambas atravessam a fonte do nó C para A (ver definição das malhas), portanto a corrente real do ramo da fonte do ponto C para A é
I_{\text{fonte }12}(\,C\to A) = I_2 + I_4.
Como eu adotei A\to C como positivo, então
I_{V_{12\mathrm{v}}} = - (I_2 + I_4) \quad\text{(sinal negativo indica direção real é \(C\to A\))}.çãé
Módulo:
|I_{V_{12\mathrm{v}}}| = I_2 + I_4 \approx 0{,}535714 + 0{,}823156 = 1{,}358870\\ \mathrm{A}.
Direção real: do nó C para o nó A (ou seja, da faixa negativa da fonte para o pólo positivo, entregue pela fonte).
  • Corrente em R_2 ( A\to D positivo). R_2 é compartilha entre malhas I_1 e I_3. Em I_3 a travessia é A\to D, em I_1 ela é D\to A. Então
I_{R2} = I_3 - I_1 \approx 0{,}703156 - 0{,}650690 = 0{,}052466\\ \mathrm{A}.
  • Corrente em R_3 ( A\to B positivo). R_3 é comum a I_1 e I_2; ambas as malhas atravessam R_3 no sentido A\to B. Assim a corrente real em R_3 é a soma:
I_{R3} = I_1 + I_2 \approx 0{,}650690 + 0{,}535714 = 1{,}186404\\ \mathrm{A}.
  • Corrente em R_4 ( C\to D positivo). R_4 é comum a I_2 e I_3; em ambas as malhas a travessia foi do nó D para C (isto é, sentido D\to C), portanto a corrente real no sentido D\to C é I_2+I_3. Em nosso referencial C\to D positivo:
I_{R4} = -(I_2 + I_3) \Rightarrow |I_{R4}| = I_2 + I_3 \approx 0{,}535714 + 0{,}703156 = 1{,}238870\\ \mathrm{A}.
Direção real: D \to C (oposta ao sentido que escolhi como positivo).
  • Corrente em R_5 ( B\to D positivo). R_5 pertence somente à malha I_2 (não é compartilhada na modelagem das malhas que escolhemos), então
I_{R5} = I_2 \approx 0{,}535714\\ \mathrm{A}.
  • Corrente através da fonte de 6\\ \mathrm{V} (ramo B \to D positivo). A fonte de 6\\ \mathrm{V} está somente na malha I_1 no nosso desenho de malhas, então a corrente por ela é I_1. Logo:
I_{V_{6\mathrm{v}}} = I_1 \approx 0{,}650690\\ \mathrm{A}.
Resumo (valores numéricos aproximados, já convertidos para módulos quando solicitado):
  • |I_{V_{12\mathrm{v}}}| \approx 1{,}358870\\ \mathrm{A}.
  • |I_{V_{6\mathrm{v}}}| \approx 0{,}650690\\ \mathrm{A}.
  • |I_{R1}| \approx 0{,}120000\\ \mathrm{A}.
  • |I_{R2}| \approx 0{,}052466\\ \mathrm{A}.
  • |I_{R3}| \approx 1{,}186404\\ \mathrm{A}.
  • |I_{R4}| \approx 1{,}238870\\ \mathrm{A}.
  • |I_{R5}| \approx 0{,}535714\\ \mathrm{A}.
Interpretando sentidos (resumo amigável):
  • Em R_1: 0{,}120\\ \mathrm{A} do nó A para C.
  • Na fonte 12\\ \mathrm{V}: 1{,}359\\ \mathrm{A} do nó C para A (isto é, entrando no pólo + da fonte).
  • Em R_2: 0{,}0525\\ \mathrm{A} do nó A para D.
  • Em R_3: 1{,}186\\ \mathrm{A} do nó A para B.
  • Em R_4: 1{,}239\\ \mathrm{A} no sentido D \to C (oposto ao senso C\to D que eu adotei como positivo).
  • Em R_5: 0{,}536\\ \mathrm{A} do nó B para D.
  • Na fonte 6\\ \mathrm{V}: 0{,}651\\ \mathrm{A} do nó B para D.
Agora coloco a resposta final (somente os módulos, na ordem pedida).

Resposta

I_{V_{12\mathrm{v}}} = 1{,}359\\ \mathrm{A}
I_{V_{6\mathrm{v}}} = 0{,}651\\ \mathrm{A}
I_{R1} = 0{,}120\\ \mathrm{A}
I_{R2} = 0{,}052\\ \mathrm{A}
I_{R3} = 1{,}186\\ \mathrm{A}
I_{R4} = 1{,}239\\ \mathrm{A}
I_{R5} = 0{,}536\\ \mathrm{A}

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