Quais são os planos que compõe a família \{110\} para o sistema cúbico?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais são os planos que compõem a família \{110\} para o sistema cúbico?”
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • A família é \{110\}.
  • O cristal é do sistema cúbico.
    O que precisa ser entregue: listar explicitamente todos os planos que pertencem a essa família no sistema cúbico.

Passo 2

Entendendo o que é um plano indicado por índices de Miller (hkl).
  • A notação (h\,k\,l) representa um plano que intercepta os eixos cristalográficos em distâncias proporcionais a \tfrac{1}{h}, \tfrac{1}{k}, \tfrac{1}{l} (em unidades de parâmetro de rede).
  • Se algum índice é 0, significa que o plano é paralelo ao eixo correspondente (intercepto em infinito).
  • Planos com sinais diferentes, por exemplo (1\,1\,0) e (-1\,-1\,0), são planos paralelos mas localizados em faces opostas da célula — portanto são considerados membros distintos da família.

Passo 3

O que significa a família \{110\} em um cristal cúbico.
  • A família \{hkl\} reúne todos os planos que são equivalentes por simetrias do reticulado. No sistema cúbico, as simetrias permitem permutar coordenadas e trocar os sinais dos índices livremente, mantendo a equivalência.
  • Para o vetor básico (1\,1\,0) as operações relevantes são: todas as permutações das componentes (ou seja, colocar o zero em qualquer uma das três posições) e todas as combinações de sinais independentes nos componentes não nulas.
  • Assim devemos considerar: (i) as três permutações onde o zero ocupa a 3ª, 2ª ou 1ª posição, e (ii) para cada permutação, as quatro combinações de sinais das duas componentes ±1 (já que o zero não muda de sinal). No total teremos 3\times4=12 planos distintos.

Passo 4

Construindo explicitamente as permutações e as combinações de sinais.
Permutações possíveis da sequência “dois uns e um zero”:
  • zero na terceira componente: (\pm1,\pm1,0);
  • zero na segunda componente: (\pm1,0,\pm1);
  • zero na primeira componente: (0,\pm1,\pm1).
Para cada um dos três tipos acima há quatro combinações de sinais nas posições com valor 1 (porque cada um dos dois 1’s pode ser + ou -). Listar cada combinação dá os 12 planos.

Passo 5

Listando os 12 planos da família \{110\} (cada linha é um plano distinto):
(1\,1\,0)
(1\,-1\,0)
(-1\,1\,0)
(-1\,-1\,0)
(1\,0\,1)
(1\,0\,-1)
(-1\,0\,1)
(-1\,0\,-1)
(0\,1\,1)
(0\,1\,-1)
(0\,-1\,1)
(0\,-1\,-1)

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo o método):
  • Pegue os índices fundamentais (h\,k\,l).
  • Gere todas as permutações das três posições (no cúbico todas são equivalentes).
  • Para cada permutação, coloque todas as combinações de sinais nas componentes não nulas.
  • Conte: para \{110\} isso sempre dá 3 permutações × 2^2=4 combinações de sinais = 12 planos. Isso vale sempre que exatamente duas componentes são não nulas e o sistema é cúbico.

Resposta

(1\,1\,0)
(1\,-1\,0)
(-1\,1\,0)
(-1\,-1\,0)
(1\,0\,1)
(1\,0\,-1)
(-1\,0\,1)
(-1\,0\,-1)
(0\,1\,1)
(0\,1\,-1)
(0\,-1\,1)
(0\,-1\,-1)

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