Quais são os planos que compõe a família
para o sistema cúbico?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais são os planos que compõem a família
para o sistema cúbico?”
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
- A família é
. - O cristal é do sistema cúbico.
O que precisa ser entregue: listar explicitamente todos os planos que pertencem a essa família no sistema cúbico.
Passo 2
Entendendo o que é um plano indicado por índices de Miller
.
- A notação
representa um plano que intercepta os eixos cristalográficos em distâncias proporcionais a , , (em unidades de parâmetro de rede). - Se algum índice é
, significa que o plano é paralelo ao eixo correspondente (intercepto em infinito). - Planos com sinais diferentes, por exemplo
e , são planos paralelos mas localizados em faces opostas da célula — portanto são considerados membros distintos da família.
Passo 3
O que significa a família
em um cristal cúbico.
- A família
reúne todos os planos que são equivalentes por simetrias do reticulado. No sistema cúbico, as simetrias permitem permutar coordenadas e trocar os sinais dos índices livremente, mantendo a equivalência. - Para o vetor básico
as operações relevantes são: todas as permutações das componentes (ou seja, colocar o zero em qualquer uma das três posições) e todas as combinações de sinais independentes nos componentes não nulas. - Assim devemos considerar: (i) as três permutações onde o zero ocupa a 3ª, 2ª ou 1ª posição, e (ii) para cada permutação, as quatro combinações de sinais das duas componentes ±1 (já que o zero não muda de sinal). No total teremos
planos distintos.
Passo 4
Construindo explicitamente as permutações e as combinações de sinais.
Permutações possíveis da sequência “dois uns e um zero”:
Permutações possíveis da sequência “dois uns e um zero”:
- zero na terceira componente:
; - zero na segunda componente:
; - zero na primeira componente:
.
Para cada um dos três tipos acima há quatro combinações de sinais nas posições com valor
(porque cada um dos dois 1’s pode ser
ou
). Listar cada combinação dá os 12 planos.
Passo 5
Listando os 12 planos da família
(cada linha é um plano distinto):
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo o método):
- Pegue os índices fundamentais
. - Gere todas as permutações das três posições (no cúbico todas são equivalentes).
- Para cada permutação, coloque todas as combinações de sinais nas componentes não nulas.
- Conte: para
isso sempre dá permutações × combinações de sinais = planos. Isso vale sempre que exatamente duas componentes são não nulas e o sistema é cúbico.