Encontre a curvatura em t = 1 da curva
sigma(t) = t^2 i + (4 + t) j + (3 - 2t) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da curva dada por no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvatura de curvas no espaço. Vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função posicional da curva e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de . A derivada primeira representa o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda de . A derivada segunda representa o vetor aceleração da curva.

Passo 4

A fórmula da curvatura para uma curva no espaço é dada por:
Onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Agora, a norma desse vetor:
Em seguida, vamos calcular a norma de :
Elevando ao cubo:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva em é .

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