Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde à família de circunferências que têm seus centros sobre o eixo Ox e que passam pelo ponto 
 . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar montar a equação geral das circunferências dessa família e depois eliminar o parâmetro para chegar na E.D.O.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em 
  (já que o centro está sobre Ox) é:
Aqui, 
  é o parâmetro que precisamos encontrar, e 
  é o raio da circunferência.
Passo 3
Sabemos que todas essas circunferências passam pelo ponto 
 . Então, substituindo 
  e 
  na equação da circunferência, temos:
Isso nos dá uma relação entre 
  e 
 .
Passo 4
Agora, substituímos 
  na equação da circunferência:
Explicando, isso porque já encontramos que 
 .
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação:
Subtraindo 
  de ambos os lados:
Passo 6
Rearranjando os termos:
Essa é a equação geral da família de circunferências.
Passo 7
Para encontrar a E.D.O., precisamos eliminar o parâmetro 
 . Vamos diferenciar a equação em relação a 
 :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia na diferenciação de 
 .
Passo 8
Isolando 
 :
Onde 
 .
Passo 9
Substituímos 
  na equação original:
Multiplicando todos os termos por 
  para simplificar:
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária correspondente é: