Encontre d y / d x por derivação implícita.
10. x e^{y}=x-y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x e^{y} = x - y
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar a regra do produto para derivar x e^{y} e a regra da cadeia para derivar e^{y}, além de derivar o lado direito normalmente.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
Derivada de x e^{y}:
pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{y}\bigr) = 1\cdot e^{y} + x\cdot e^{y}\,\frac{dy}{dx} = e^{y} + x e^{y}\,\frac{dy}{dx}.
Derivada de x - y:
\frac{d}{dx}(x - y) = 1 - \frac{dy}{dx}.
Logo,
e^{y} + x e^{y}\,\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}.

Passo 3

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro, somamos \dfrac{dy}{dx} aos dois lados:
e^{y} + x e^{y}\,\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1.
Agrupando os termos com \dfrac{dy}{dx}:
e^{y} + \Bigl(x e^{y} + 1\Bigr)\frac{dy}{dx} = 1.
Em seguida, subtraímos e^{y} de ambos os lados:
\Bigl(x e^{y} + 1\Bigr)\frac{dy}{dx} = 1 - e^{y}.
Finalmente, dividimos por \bigl(x e^{y}+1\bigr):
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}.

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