Encontre y^{\prime} e y^{\prime \prime}.
23. y=x^{2} \ln (2 x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
y = x^{2}\ln(2x).
O conteúdo principal aqui é o uso da regra do produto e da regra da cadeia para derivar uma função que é produto de x^{2} por \ln(2x).

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto y = u\cdot v, com
u = x^{2},\quad v = \ln(2x).
Calculamos primeiro
u' = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
v' = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(2x)\bigr) =\frac{1}{2x}\cdot 2 = \frac{1}{x}.
Logo, pela regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v' =2x\ln(2x) + x^{2}\cdot\frac{1}{x} =2x\ln(2x) + x.

Passo 3

Agora derivamos y' para obter y''. Escrevendo
y' = 2x\ln(2x) + x,
temos dois termos. Para o primeiro usamos de novo a regra do produto com a=2x e b=\ln(2x):
a' = 2,
b' = \frac{1}{x}.
Assim
\frac{d}{dx}\bigl(2x\ln(2x)\bigr) = a'\,b + a\,b' =2\ln(2x) + 2x\cdot\frac{1}{x} =2\ln(2x) + 2.
E a derivada de x é 1. Somando,
y'' = \bigl[2\ln(2x)+2\bigr] + 1 =2\ln(2x) + 3.

Resposta

y' = 2x\ln(2x) + x,
y'' = 2\ln(2x) + 3.

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