Encontre d y / d x por derivação implícita.
8. 2 x^{3}+x^{2} y-x y^{3}=2

Passo 1

O enunciado pede \dfrac{dy}{dx} por derivação implícita da curva dada por
2x^{3} + x^{2}y - x\,y^{3} = 2.
Vamos usar as regras de derivada de soma, produto e cadeia.

Passo 2

Diferenciando termo a termo em relação a x:
\frac{d}{dx}(2x^{3}) = 6x^{2},
\frac{d}{dx}(x^{2}y) = 2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(-x\,y^{3}) = -\Bigl(y^{3} + x\cdot 3y^{2}\,\frac{dy}{dx}\Bigr),
\frac{d}{dx}(2) = 0.

Passo 3

Somando tudo e igualando a zero:
6x^{2} \;+\; 2x\,y \;+\; x^{2}\,\frac{dy}{dx} \;-\; y^{3} \;-\; 3x\,y^{2}\,\frac{dy}{dx} =0.

Passo 4

Agrupamos os termos com \dfrac{dy}{dx} de um lado e os restantes do outro:
x^{2}\,\frac{dy}{dx} \;-\; 3x\,y^{2}\,\frac{dy}{dx} = y^{3} \;-\;6x^{2}\;-\;2x\,y.
Fatorando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\,(x^{2}-3x\,y^{2}) = y^{3}-6x^{2}-2x\,y.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{3}-6x^{2}-2x\,y}{\,x^{2}-3x\,y^{2}\,}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y^{3} - 6x^{2} - 2x\,y}{x^{2} - 3x\,y^{2}}.

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