Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função está escrita como raiz cúbica de
. - O logaritmo natural
exige . Portanto a derivada só faz sentido (no domínio real) para .
O que é pedido:
- Calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Reescrever a função numa forma que facilita a diferenciação. Raiz cúbica é potência
. Assim:
Esta forma permite aplicar a regra da cadeia de maneira direta.
Passo 3
Lembra da regra da cadeia (explicação didática): quando uma função é composta, ou seja
, a derivada é o produto da derivada da função externa avaliada em
pela derivada da função interna
. Em símbolos:
Aqui, a função externa é
(onde
) e a função interna é
.
Passo 4
Derivar a função externa
. Usando a regra de potência (para
, a derivada é
):
Explicando: o expoente
, então multiplica-se por
e subtrai-se 1 do expoente, ficando
.
Passo 5
Derivar a função interna
. A derivada de
é
e a derivada de uma constante é zero. Logo:
Explicando:
descreve a taxa de variação relativa de
; ao derivar aparece
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores. Substituindo
, obtemos:
Passo 7
Simplificar a expressão para uma forma limpa. Multiplicando os fatores:
Outra forma equivalente, escrevendo o expoente negativo como raiz, é:
Passo 8
Observação sobre domínio (importante para a prova): como mencionado no Passo 1,
exige
. Portanto a fórmula da derivada é válida apenas para
.