Encontre d y / d x.
y=\sqrt[3]{\ln x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt[3]{\ln x+1} e pede para encontrar \dfrac{d y}{d x}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função está escrita como raiz cúbica de \ln x+1.
  • O logaritmo natural \ln x exige x>0. Portanto a derivada só faz sentido (no domínio real) para x>0.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{d y}{d x}, a derivada de y em função de x.

Passo 2

Reescrever a função numa forma que facilita a diferenciação. Raiz cúbica é potência 1/3. Assim:
y = (\ln x + 1)^{1/3}.
Esta forma permite aplicar a regra da cadeia de maneira direta.

Passo 3

Lembra da regra da cadeia (explicação didática): quando uma função é composta, ou seja y = f(g(x)), a derivada é o produto da derivada da função externa avaliada em g(x) pela derivada da função interna g'(x). Em símbolos:
\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui, a função externa é f(u)=u^{1/3} (onde u=\ln x+1) e a função interna é g(x)=\ln x+1.

Passo 4

Derivar a função externa f(u)=u^{1/3}. Usando a regra de potência (para u^n, a derivada é n u^{n-1}):
f'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
Explicando: o expoente n=\tfrac{1}{3}, então multiplica-se por n e subtrai-se 1 do expoente, ficando \tfrac{1}{3}u^{\tfrac{1}{3}-1}=\tfrac{1}{3}u^{-2/3}.

Passo 5

Derivar a função interna g(x)=\ln x+1. A derivada de \ln x é \dfrac{1}{x} e a derivada de uma constante é zero. Logo:
g'(x)=\frac{1}{x}.
Explicando: \ln x descreve a taxa de variação relativa de x; ao derivar aparece 1/x.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores. Substituindo u=\ln x+1, obtemos:
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{3}(\ln x+1)^{-2/3}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 7

Simplificar a expressão para uma forma limpa. Multiplicando os fatores:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3x}\,(\ln x+1)^{-2/3}.
Outra forma equivalente, escrevendo o expoente negativo como raiz, é:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3x\,\sqrt[3]{(\ln x+1)^{2}}}.

Passo 8

Observação sobre domínio (importante para a prova): como mencionado no Passo 1, \ln x exige x>0. Portanto a fórmula da derivada é válida apenas para x>0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3x}(\ln x+1)^{-2/3}

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