Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
em relação a
, dado:
Informações relevantes:
- A função é
. - A variável
deve satisfazer (porque só está definida para ). - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Entender a técnica que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar do zero.
Regra da cadeia (explicação didática):
- Suponha que
depende de e depende de , isto é com . - Então a derivada de
em relação a é o produto da derivada de em relação a pela derivada de em relação a :
- Uma forma prática: se
(potência de uma função), então
Aqui
.
Passo 3
Identificar as partes da nossa função para aplicar a regra da cadeia:
- Tome
. - Então
com .
Agora precisamos de
. Lembrete básico:
- A derivada do logaritmo natural é
para
. Isso é uma regra padrão que vale para
.
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Simplificando,
Passo 5
Verificação alternativa (chequinho rápido): escrever
e usar a regra do produto.
- Se
então . - Aqui
e . Como ,
o mesmo resultado — bom sinal.
Passo 6
Observações finais e dica para a prova:
- Domínio: a resposta
é válida para . - Técnica rápida para a prova: ao ver uma potência de uma função (como
), pense imediatamente em regra da cadeia: “desço o expoente, multiplico pela função elevada ao expoente menos um e multiplico pela derivada da função interna”. - Um jeito de decorar: se
, . Simples e rápido!