Encontre d y / d x.
y=(\ln x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y em relação a x, dado:
y=(\ln x)^{2}.
Informações relevantes:
  • A função é y=(\ln x)^{2}.
  • A variável x deve satisfazer x>0 (porque \ln x só está definida para x>0).
  • O que se pede: calcular \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Entender a técnica que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar do zero.
Regra da cadeia (explicação didática):
  • Suponha que y depende de u e u depende de x, isto é y = g(u) com u = h(x).
  • Então a derivada de y em relação a x é o produto da derivada de y em relação a u pela derivada de u em relação a x:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
  • Uma forma prática: se y=[u(x)]^{n} (potência de uma função), então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr) = n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u'(x)=\dfrac{du}{dx}.

Passo 3

Identificar as partes da nossa função para aplicar a regra da cadeia:
  • Tome u(x)=\ln x.
  • Então y = u(x)^{2} com n=2.
Agora precisamos de u'(x)=\dfrac{d}{dx}(\ln x). Lembrete básico:
  • A derivada do logaritmo natural é
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},
para x>0. Isso é uma regra padrão que vale para \ln x.
Portanto
u'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)^{2-1}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\ln x e u'(x)=\dfrac{1}{x}, obtemos
\frac{dy}{dx}=2(\ln x)^{1}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando,
\frac{dy}{dx}=\frac{2\ln x}{x}.

Passo 5

Verificação alternativa (chequinho rápido): escrever y=(\ln x)(\ln x) e usar a regra do produto.
  • Se y=f(x)g(x) então y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
  • Aqui f(x)=\ln x e g(x)=\ln x. Como f'(x)=g'(x)=1/x,
y'=\frac{1}{x}\ln x + \ln x\frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x},
o mesmo resultado — bom sinal.

Passo 6

Observações finais e dica para a prova:
  • Domínio: a resposta \dfrac{2\ln x}{x} é válida para x>0.
  • Técnica rápida para a prova: ao ver uma potência de uma função (como (\ln x)^2), pense imediatamente em regra da cadeia: “desço o expoente, multiplico pela função elevada ao expoente menos um e multiplico pela derivada da função interna”.
  • Um jeito de decorar: se y=(\text{algo})^2, y'=2(\text{algo})(\text{derivada do algo}). Simples e rápido!

Resposta

\dfrac{2\ln x}{x}

Exercícios relacionados