Encontre d/y d/x por derivação implícita:
x^4 * (x + y) = y^2 * (3 * x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e a técnica de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Isso já está pronto para a gente aplicar a derivada em ambos os lados em relação a .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo da equação . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar produtos, usamos a regra do produto:
Aplicando isso:
Explicando, a derivada de é , e a derivada de é porque é função de .

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação . Novamente, temos um produto de duas funções: e . Aplicando a regra do produto:
Aqui, a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Agora que derivamos ambos os lados, colocamos tudo junto:
Nosso objetivo é isolar .

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Rearranjando:

Passo 7

Isolando :
Simplificando os termos no numerador e denominador se possível.

Resposta

A derivada é:

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