Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos, que o investidor esteja disposto a manter o investimento. I(t) é dado por:
I(t) = 160 t / (t^2 + 16)
Calcule I''(4)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial! A gente tem uma função que representa os juros anuais de um banco, dada por:
Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada usando as regras de derivação de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada . A função é uma fração onde o numerador é e o denominador é . Para derivar essa função, usamos a regra do quociente, que diz que se temos , então:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Precisamos derivar novamente. A função também é uma fração, então usamos a regra do quociente novamente.
Identificamos:
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando no numerador:

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar . Substituindo na expressão de :
Calculando:

Resposta

A segunda derivada de no ponto é aproximadamente .

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