Encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x)=\frac{x+1}{2 \cos (x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{x+1}{2\cos(x)}.
Informações dadas e explícitas:
  • A variável independente é x.
  • A função envolve uma razão entre x+1 e 2\cos(x).
  • O objetivo é calcular f'(x), a derivada de f em relação a x (ou seja, a taxa de variação instantânea de f quando x varia).

Passo 2

Escolha do método: é mais simples reescrever a função como produto do que aplicar diretamente a regra do quociente. Reescrever facilita usar a regra do produto e a derivada de \operatorname{sec}(x). Além disso, mostrar a derivada de \operatorname{sec}(x) é útil didaticamente.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivada do produto = derivada da primeira vezes a segunda + primeira vezes derivada da segunda.
  • Derivada de \cos(x): sabemos que
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Explicação curta: essa é uma regra básica das derivadas das funções trigonométricas.
  • Derivada de \operatorname{sec}(x): \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Podemos derivar usando a regra da cadeia ou a regra de potência:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(x)^{-1}\big)=-1\cdot\cos(x)^{-2}\cdot\big(-\sin(x)\big)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
Usando identidades trigonométricas, \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\operatorname{sec}(x)\tan(x). Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Entendeu? A conta deu positivo porque a derivada de \cos é -\sin e o sinal menos se anula.

Passo 4

Reescrever a função em forma de produto para aplicar a regra do produto de forma simples:
f(x)=\frac{x+1}{2\cos(x)}=\frac{1}{2}\,(x+1)\,\operatorname{sec}(x).
Aqui se isolou o fator constante \tfrac{1}{2}, que pode ficar multiplicando o produto (x+1)\operatorname{sec}(x).

Passo 5

Aplique a regra do produto ao fator (x+1)\operatorname{sec}(x). Seja
u(x)=x+1,\qquad v(x)=\operatorname{sec}(x).
Calculando as derivadas parciais:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1,
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Agora a derivada de u(x)v(x) é
\frac{d}{dx}\big((x+1)\operatorname{sec}(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\operatorname{sec}(x)+(x+1)\cdot\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Lembrando do fator \tfrac{1}{2} que estava fora, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}\left[\operatorname{sec}(x)+(x+1)\operatorname{sec}(x)\tan(x)\right].

Passo 6

Simplificar a expressão fatorando \operatorname{sec}(x) e, se quiser, reescrever em termos de \cos e \sin para uma forma sem sec e tan.
Fatorando \operatorname{sec}(x):
f'(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sec}(x)\big(1+(x+1)\tan(x)\big).
Reescrevendo em termos de \cos e \sin: \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Substituindo:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos(x)}\left(1+(x+1)\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{\cos(x)+(x+1)\sin(x)}{\cos(x)}.
Multiplicando os denominadores:
f'(x)=\frac{\cos(x)+(x+1)\sin(x)}{2\cos^2(x)}.
Observação sobre domínio: tanto a expressão com \operatorname{sec} quanto a com \cos mostram que f'(x) não está definida quando \cos(x)=0 (ou seja, em x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}), porque a função original também não está definida nesses pontos.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{\cos(x)+(x+1)\sin(x)}{2\cos^2(x)}

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