Encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada da função
Informações dadas e explícitas:
- A variável independente é
. - A função envolve uma razão entre
e . - O objetivo é calcular
, a derivada de em relação a (ou seja, a taxa de variação instantânea de quando varia).
Passo 2
Escolha do método: é mais simples reescrever a função como produto do que aplicar diretamente a regra do quociente. Reescrever facilita usar a regra do produto e a derivada de
. Além disso, mostrar a derivada de
é útil didaticamente.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isto significa: derivada do produto = derivada da primeira vezes a segunda + primeira vezes derivada da segunda.
- Derivada de
: sabemos que
Explicação curta: essa é uma regra básica das derivadas das funções trigonométricas.
- Derivada de
: . Podemos derivar usando a regra da cadeia ou a regra de potência:
Usando identidades trigonométricas,
. Logo
Entendeu? A conta deu positivo porque a derivada de
é
e o sinal menos se anula.
Passo 4
Reescrever a função em forma de produto para aplicar a regra do produto de forma simples:
Aqui se isolou o fator constante
, que pode ficar multiplicando o produto
.
Passo 5
Aplique a regra do produto ao fator
. Seja
Calculando as derivadas parciais:
Agora a derivada de
é
Lembrando do fator
que estava fora, obtemos
Passo 6
Simplificar a expressão fatorando
e, se quiser, reescrever em termos de
e
para uma forma sem sec e tan.
Fatorando
:
Reescrevendo em termos de
e
:
e
. Substituindo:
Multiplicando os denominadores:
Observação sobre domínio: tanto a expressão com
quanto a com
mostram que
não está definida quando
(ou seja, em
,
), porque a função original também não está definida nesses pontos.