Quando a raiz r é dupla, duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}.
Passo 3
Comentário sobre o método para achar uma solução particular: o termo não homogêneo \dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}} não é um simples polinômio vezes exponencial que permita o método dos coeficientes indeterminados (o divisor 1+x^{2} impede um palpite polinomial). Além disso a exponencial e^{2x} coincide com as soluções homogêneas, o que torna o palpite ainda mais complicado. Por isso escolho o método de variação de constantes (variação de parâmetros), que é adequado e direto neste caso.
Passo 4
Vou aplicar variação de parâmetros: procuro uma solução particular na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais já encontradas e u_{1},u_{2} são funções a determinar. Para a equação na forma
Na variação de parâmetros pode-se escolher as constantes de integração iguais a zero, porque qualquer constante multiplicada por y_{1} ou y_{2} volta a fazer parte da solução homogênea. Então tomo