( 2,5 pontos) Encontre a solução geral da EDO: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\frac{e^{2 x}}{1+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-4y'+4y=\frac{e^{2x}}{1+x^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é \dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvo a equação homogênea associada (colocando o lado direito igual a zero):
y''-4y'+4y=0.
A equação característica é
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=2\\ \text{(raiz dupla)}.
Quando a raiz r é dupla, duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}.

Passo 3

Comentário sobre o método para achar uma solução particular: o termo não homogêneo \dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}} não é um simples polinômio vezes exponencial que permita o método dos coeficientes indeterminados (o divisor 1+x^{2} impede um palpite polinomial). Além disso a exponencial e^{2x} coincide com as soluções homogêneas, o que torna o palpite ainda mais complicado. Por isso escolho o método de variação de constantes (variação de parâmetros), que é adequado e direto neste caso.

Passo 4

Vou aplicar variação de parâmetros: procuro uma solução particular na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais já encontradas e u_{1},u_{2} são funções a determinar. Para a equação na forma
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
as fórmulas das derivadas são
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,r(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,r(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Aqui r(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}}.

Passo 5

Calculo as derivadas de y_{1} e y_{2} e o Wronskiano:
y_{1}(x)=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(x)=2e^{2x},
y_{2}(x)=x e^{2x}\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(x)=e^{2x}+2x e^{2x}=e^{2x}(1+2x).
Agora
W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x)-2e^{2x}\cdot x e^{2x}.
Fatorando e^{4x}:
W(x)=e^{4x}\bigl(1+2x-2x\bigr)=e^{4x}.

Passo 6

Usando as fórmulas de variação de parâmetros com r(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}}:
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,r(x)}{W(x)}=-\frac{x e^{2x}\cdot \dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}}}{e^{4x}}.
Simplificando e^{2x}\cdot e^{2x}=e^{4x} e cancelando com e^{4x} do denominador:
u_{1}'(x)=-\frac{x}{1+x^{2}}.
E
u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,r(x)}{W(x)}=\frac{e^{2x}\cdot \dfrac{e^{2x}}{1+x^{2}}}{e^{4x}}=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 7

Agora integro para obter u_{1} e u_{2}. Para u_{1}:
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int -\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Faço a substituição t=1+x^{2}, dt=2x\,dx, então
\int -\frac{x}{1+x^{2}}\,dx=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+\text{constante}.
Para u_{2}:
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan x+\text{constante}.
Na variação de parâmetros pode-se escolher as constantes de integração iguais a zero, porque qualquer constante multiplicada por y_{1} ou y_{2} volta a fazer parte da solução homogênea. Então tomo
u_{1}(x)=-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr),\qquad u_{2}(x)=\arctan x.

Passo 8

Constrói-se a solução particular:
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x) = -\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)e^{2x}+\bigl(\arctan x\bigr)\,x e^{2x}.
Fatorando e^{2x}:
y_{p}(x)=e^{2x}\left(-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+e^{2x}\left(-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).
Posso fatorar e^{2x} para apresentar de forma compacta:
y(x)=e^{2x}\left(C_{1}+C_{2}x-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).

Resposta

y(x)=e^{2x}\Biggl(C_{1}+C_{2}x-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\Biggr)

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