Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x * ln(y) no ponto P(3,1) e na direção do vetor v = (4, -1).

Passo 1

Vamos resolver a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, usaremos conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que mede a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Precisaremos calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Isso porque .

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor.
O vetor unitário na direção de é dado por:
Onde é a norma de :
Então,

Passo 5

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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