Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico V, em Volts, seja expresso pela função V(x, y, z) = 3 x^2 - 2 x y + x y z, com as coordenadas x, y e z dadas em metros. Qual é a taxa máxima de variação de V no ponto P ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um potencial elétrico que depende das coordenadas , e (em metros). A pergunta é: qual é a taxa máxima de variação desse potencial no ponto ?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função potencial, que nos dá a direção e a taxa de variação máxima. Não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa máxima de variação de uma função. Imagine que você está subindo uma montanha: a taxa máxima de subida no seu ponto atual é na direção que você está mais inclinada para cima. Matematicamente, isso é dado pelo gradiente da função.
No nosso caso, o gradiente de vai nos dizer em qual direção o potencial está aumentando mais rapidamente e qual é essa taxa máxima de variação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente. Para encontrar isso, usamos a fórmula da norma do vetor:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Essa expressã̃o dá a taxa máxima de variação do potencial no ponto .

Resposta

A taxa máxima de variação de no ponto é dada por:

Exercícios relacionados