Encontre a derivada de f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^{2}+3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x^{2}+3}.
O conteúdo principal é diferenciação de quociente de funções, usando a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
g(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{\tfrac12}
e
h(x)=x^{2}+3,
de modo que
f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e h:
Pela regra da cadeia,
g'(x)=\frac12\,(x+1)^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
E pela regra de potência,
h'(x)=2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}} =\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\,(x^{2}+3)\;-\;\sqrt{x+1}\,(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 5

Colocamos tudo sobre um mesmo denominador 2\sqrt{x+1}:
f'(x) =\frac{1}{(x^{2}+3)^{2}} \;\cdot\; \frac{(x^{2}+3)\;-\;2x\,(2\,(x+1))}{2\sqrt{x+1}} =\frac{(x^{2}+3)-4x(x+1)}{2\sqrt{x+1}\,(x^{2}+3)^{2}}.
Expandindo o numerador:
(x^{2}+3)-4x(x+1)=x^{2}+3-4x^{2}-4x=-3x^{2}-4x+3.

Resposta

f'(x) =\frac{-3x^{2}-4x+3}{2\sqrt{x+1}\,(x^{2}+3)^{2}} \quad\text{ou}\quad -\frac{3x^{2}+4x-3}{2\sqrt{x+1}\,(x^{2}+3)^{2}}.

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