Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
c) f(x) = x^3;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a derivada da função usando a definição de derivada. Aqui, estamos falando de cálculo diferencial, que estuda como as funções mudam. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que basicamente calcula a taxa de variação da função em um ponto específico.

Passo 2

A definição de derivada de uma função em um ponto é dada por:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Primeiro, calculemos :
Vamos expandir :

Passo 4

Agora, substituímos e na definição da derivada:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o do numerador:
Cancelando o no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada da função é .
Os domínios são:
  • Função : Definida para todos os números reais, ou seja, .
  • Derivada : Também definida para todos os números reais, .

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