Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com a definição de limite para derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a fórmula básica dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para simplificar a expressão dentro do limite, vamos calcular a diferença das frações:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite quando
tende a zero:
Passo 7
Então, a derivada da função
é:
Resposta
A derivada da função
é
. O domínio da função
é
com
, e o domínio da derivada
também é
com
.