Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b) f(x) = 1/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com a definição de limite para derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a fórmula básica dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Para simplificar a expressão dentro do limite, vamos calcular a diferença das frações:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando tende a zero:

Passo 7

Então, a derivada da função é:

Resposta

A derivada da função é . O domínio da função é com , e o domínio da derivada também é com .

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