Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}(5 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada f'(x):
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}(5x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é a função arco-seno aplicada ao argumento 5x, isto é, \operatorname{sen}^{-1} é a função inversa do seno.
  • É preciso simplificar o resultado sempre que possível.
    Não se resolve nada ainda neste passo; apenas anotamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Ideia geral e técnica que vamos usar (explicada devagar, como num passo a passo):
  • Para derivar uma função composta do tipo \operatorname{sen}^{-1}(u(x)) usa-se a regra da cadeia (chain rule) combinada com a derivada da função \operatorname{sen}^{-1}.
  • Uma forma bem direta de obter a derivada de \operatorname{sen}^{-1} é fazer diferenciação implícita. Vou mostrar isso passo a passo para que fique claro como aparece a raiz quadrada no denominador.

Passo 3

Começo pela diferenciação implícita. Defino uma nova variável:
y=\operatorname{sen}^{-1}(5x).
Pelos nomes, isso significa que
\operatorname{sen}(y)=5x.
Agora diferencia os dois lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a derivada do seno composta com y(x) (regra da cadeia) e no direito a derivada de 5x:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(y)\big)=\frac{d}{dx}(5x).
A derivada da esquerda é \cos(y)\cdot y' (porque \dfrac{d}{dy}\operatorname{sen}(y)=\cos(y) e depois multiplicamos por y' pela cadeia). A derivada da direita é 5. Portanto:
\cos(y)\,y'=5.
Isolando y':
y'=\frac{5}{\cos(y)}.

Passo 4

Agora precisamos escrever \cos(y) em termos de x. Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
\cos^2(y)=1-\operatorname{sen}^2(y).
Tomando raiz quadrada positiva (explico o porquê em seguida),
\cos(y)=\sqrt{1-\operatorname{sen}^2(y)}.
Mas da igualdade inicial \operatorname{sen}(y)=5x temos \operatorname{sen}^2(y)=(5x)^2=25x^2. Substituindo:
\cos(y)=\sqrt{1-25x^2}.

Passo 5

Pequena observação sobre o sinal da raiz: a função \operatorname{sen}^{-1} (arco-seno) tem valor y no intervalo \big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big]. Nesse intervalo o cosseno é não negativo, isto é, \cos(y)\ge 0. Por isso tomamos a raiz quadrada positiva \sqrt{1-25x^2} e não o negativo. Assim a expressão para y' fica
y'=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.

Passo 6

Alternativa curta (mesma conclusão): usar a fórmula conhecida da derivada da função arco-seno composta:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^{-1}(u(x))\big)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}.
Aqui u(x)=5x e u'(x)=5, então
f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.

Passo 7

Nota sobre domínio da derivada: a raiz no denominador exige 1-25x^2>0, ou seja |x|<\tfrac{1}{5}. Nos pontos |x|=\tfrac{1}{5} o denominador fica zero e a derivada não existe; para |x|>\tfrac{1}{5} a expressão não é real (fora do domínio real da arco-seno composto). Então a fórmula válida é para |x|<\tfrac{1}{5}.

Resposta

f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}

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