Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
:
Informações relevantes que temos:
- A função é a função arco-seno aplicada ao argumento
, isto é, é a função inversa do seno. - É preciso simplificar o resultado sempre que possível.
Não se resolve nada ainda neste passo; apenas anotamos o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Ideia geral e técnica que vamos usar (explicada devagar, como num passo a passo):
- Para derivar uma função composta do tipo
usa-se a regra da cadeia (chain rule) combinada com a derivada da função . - Uma forma bem direta de obter a derivada de
é fazer diferenciação implícita. Vou mostrar isso passo a passo para que fique claro como aparece a raiz quadrada no denominador.
Passo 3
Começo pela diferenciação implícita. Defino uma nova variável:
Pelos nomes, isso significa que
Agora diferencia os dois lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a derivada do seno composta com
(regra da cadeia) e no direito a derivada de
:
A derivada da esquerda é
(porque
e depois multiplicamos por
pela cadeia). A derivada da direita é
. Portanto:
Isolando
:
Passo 4
Agora precisamos escrever
em termos de
. Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
Tomando raiz quadrada positiva (explico o porquê em seguida),
Mas da igualdade inicial
temos
. Substituindo:
Passo 5
Pequena observação sobre o sinal da raiz: a função
(arco-seno) tem valor
no intervalo
. Nesse intervalo o cosseno é não negativo, isto é,
. Por isso tomamos a raiz quadrada positiva
e não o negativo. Assim a expressão para
fica
Passo 6
Alternativa curta (mesma conclusão): usar a fórmula conhecida da derivada da função arco-seno composta:
Aqui
e
, então
Passo 7
Nota sobre domínio da derivada: a raiz no denominador exige
, ou seja
. Nos pontos
o denominador fica zero e a derivada não existe; para
a expressão não é real (fora do domínio real da arco-seno composto). Então a fórmula válida é para
.