que está acima do plano z=0, com orientaçāo para lima.
Seja
\vec{F}=\left\langle 3 x z-y, y z, x^{2}\right\rangle
(b) Aplicar o Teorema da divergência a essa superficie?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro do que há no problema):
A superfície S é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
que está acima do plano z=0. Ou seja, S é o hemisfério superior de raio 3.
A orientação indicada é “para cima” (normais com componente z positiva) — vou interpretar isso como normais apontando para fora da esfera na parte superior, isto é, com componente z positiva.
O campo vetorial é
\vec{F}=\langle 3 x z - y,\; y z,\; x^{2}\rangle.
A pergunta (b) é: aplicar o Teorema da divergência a essa superfície. Na prática isso pede usar o Teorema da divergência para computar o fluxo de \vec F através de S com a orientação dada (isto é, o integral de superfície \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS para o hemisfério superior com normais para cima).
Passo 2
Por que usar o Teorema da divergência e o que ele diz (sem fórmulas ainda)? O Teorema da divergência relaciona o fluxo total de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente do campo sobre o volume interno. Mas atenção: o teorema exige uma superfície fechada. Aqui S é uma superfície aberta (apenas o hemisfério). Então a estratégia é fechar a região adicionando o disco D no plano z=0 (o disco de raio 3 dado por x^{2}+y^{2}\le 9, z=0). Então a superfície fechada é S\cup D. Aplicando o Teorema da divergência a essa superfície fechada podemos obter:
onde V é o volume ocupado pelo hemisfério (a região com 0\le z\le\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}). Depois, isolamos \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS subtraindo a contribuição do disco D. Agora vamos ao cálculo efetivo.
Passo 3
Calcular a divergência de \vec F. Lembrando que a divergência é definida como a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às coordenadas correspondentes:
Aplicar o Teorema da divergência: o fluxo através da superfície fechada S\cup D é o triplo integral de \operatorname{div}\vec F=4z sobre o volume V do hemisfério superior. Vamos calcular
\iiint_{V}4z\,dV.
Para esse volume é conveniente usar coordenadas esféricas. Lembrete rápido de esféricas e do jacobiano:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi,
o elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites para o hemisfério superior são:
\rho de 0 a 3,
\varphi de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque \varphi mede o ângulo a partir do eixo +z; \varphi=0 no polo norte, \varphi=\pi/2 no plano z=0),
\theta de 0 a 2\pi.
Substituindo z=\rho\cos\varphi e dV, o integral fica
Portanto o fluxo total através da superfície fechada S\cup D é
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS=81\pi.
Passo 5
Agora precisamos do fluxo apenas através do hemisfério S com a orientação para cima. A superfície fechada é S (hemisfério) mais o disco D no plano z=0. A orientação padrão para a superfície fechada (orientação exterior) significa:
na parte esférica (S) o normal exterior tem componente z>0 — coincide com a orientação “para cima” dada;
no disco D (a tampa no plano z=0) o normal exterior aponta para baixo (para fora do volume), ou seja, \vec n_D=-\mathbf{k}.
Pequeno comentário final: interpretação grosseira para lembrar — o divergente 4z é positivo na parte superior, então o fluxo total para fora do volume é positivo; o disco contribuiu negativamente (porque \vec F tem componente +x^2 para cima, mas o normal exterior do disco aponta para baixo), por isso ao remover o disco o fluxo sobre o hemisfério fica maior.