Seja S a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
que está acima do plano z=0, com orientaçāo para lima.
Seja
\vec{F}=\left\langle 3 x z-y, y z, x^{2}\right\rangle
(b) Aplicar o Teorema da divergência a essa superficie?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro do que há no problema):
  • A superfície S é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
que está acima do plano z=0. Ou seja, S é o hemisfério superior de raio 3.
  • A orientação indicada é “para cima” (normais com componente z positiva) — vou interpretar isso como normais apontando para fora da esfera na parte superior, isto é, com componente z positiva.
  • O campo vetorial é
\vec{F}=\langle 3 x z - y,\; y z,\; x^{2}\rangle.
  • A pergunta (b) é: aplicar o Teorema da divergência a essa superfície. Na prática isso pede usar o Teorema da divergência para computar o fluxo de \vec F através de S com a orientação dada (isto é, o integral de superfície \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS para o hemisfério superior com normais para cima).

Passo 2

Por que usar o Teorema da divergência e o que ele diz (sem fórmulas ainda)? O Teorema da divergência relaciona o fluxo total de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente do campo sobre o volume interno. Mas atenção: o teorema exige uma superfície fechada. Aqui S é uma superfície aberta (apenas o hemisfério). Então a estratégia é fechar a região adicionando o disco D no plano z=0 (o disco de raio 3 dado por x^{2}+y^{2}\le 9, z=0). Então a superfície fechada é S\cup D. Aplicando o Teorema da divergência a essa superfície fechada podemos obter:
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec F\,dV,
onde V é o volume ocupado pelo hemisfério (a região com 0\le z\le\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}). Depois, isolamos \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS subtraindo a contribuição do disco D. Agora vamos ao cálculo efetivo.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec F. Lembrando que a divergência é definida como a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às coordenadas correspondentes:
\operatorname{div}\vec F=\frac{\partial}{\partial x}(3xz-y)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}).
Calculemos termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(3xz-y)=3z,
\frac{\partial}{\partial y}(yz)=z,
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2})=0.
Portanto
\operatorname{div}\vec F=3z+z+0=4z.

Passo 4

Aplicar o Teorema da divergência: o fluxo através da superfície fechada S\cup D é o triplo integral de \operatorname{div}\vec F=4z sobre o volume V do hemisfério superior. Vamos calcular
\iiint_{V}4z\,dV.
Para esse volume é conveniente usar coordenadas esféricas. Lembrete rápido de esféricas e do jacobiano:
  • x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
  • y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
  • z=\rho\cos\varphi,
  • o elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites para o hemisfério superior são:
  • \rho de 0 a 3,
  • \varphi de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque \varphi mede o ângulo a partir do eixo +z; \varphi=0 no polo norte, \varphi=\pi/2 no plano z=0),
  • \theta de 0 a 2\pi.
Substituindo z=\rho\cos\varphi e dV, o integral fica
\iiint_{V}4z\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}4(\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Simplificando o integrando:
4(\rho\cos\varphi)\rho^{2}\sin\varphi = 4\rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi.
Agora integramos separadamente em \rho, \varphi e \theta:
  • Integral em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{4}}{4}=\frac{81}{4}.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Uma maneira simples é usar u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{1}u\,du=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Agora junte tudo, lembrando do fator 4 que estava no integrando:
\iiint_{V}4z\,dV = 4\cdot\left(\frac{81}{4}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\pi.
Simplificando:
4\cdot\frac{81}{4}=81,
81\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\pi =81\pi.
Portanto o fluxo total através da superfície fechada S\cup D é
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS=81\pi.

Passo 5

Agora precisamos do fluxo apenas através do hemisfério S com a orientação para cima. A superfície fechada é S (hemisfério) mais o disco D no plano z=0. A orientação padrão para a superfície fechada (orientação exterior) significa:
  • na parte esférica ( S) o normal exterior tem componente z>0 — coincide com a orientação “para cima” dada;
  • no disco D (a tampa no plano z=0) o normal exterior aponta para baixo (para fora do volume), ou seja, \vec n_D=-\mathbf{k}.
Pela aditividade do fluxo:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS + \iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS = 81\pi.
Logo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = 81\pi - \iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS.
Calculemos \iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS. No disco D temos z=0. O campo ali vale
\vec F(x,y,0)=\langle 3x\cdot 0 - y,\; y\cdot 0,\; x^{2}\rangle = \langle -y,\;0,\;x^{2}\rangle.
O normal exterior para o disco (para baixo) é \vec n_D = -\mathbf{k}=\langle 0,0,-1\rangle. Então
\vec F\cdot\vec n_D = \langle -y,0,x^{2}\rangle\cdot\langle 0,0,-1\rangle = -x^{2}.
Portanto a contribuição do disco é
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS = \iint_{D} -x^{2}\,dA = -\iint_{D} x^{2}\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le 9.
Calculemos \iint_{D} x^{2}\,dA em coordenadas polares: x=r\cos\theta, dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint_{D} x^{2}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{3} r^{3}\,dr.
Calculos:
\int_{0}^{3} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{3}=\frac{81}{4},
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi \quad\text{(porque a média de }\cos^{2}\text{ em }[0,2\pi]\text{ é }1/2).éé
Logo
\iint_{D} x^{2}\,dA = \frac{81}{4}\cdot\pi.
Assim
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS = -\frac{81\pi}{4}.

Passo 6

Agora volte à fórmula que relaciona as contribuições:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = 81\pi - \left(-\frac{81\pi}{4}\right) = 81\pi + \frac{81\pi}{4}.
Somando:
81 + \frac{81}{4} = 81\cdot\frac{5}{4}=\frac{405}{4},
logo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = \frac{405\pi}{4}.
Pequeno comentário final: interpretação grosseira para lembrar — o divergente 4z é positivo na parte superior, então o fluxo total para fora do volume é positivo; o disco contribuiu negativamente (porque \vec F tem componente +x^2 para cima, mas o normal exterior do disco aponta para baixo), por isso ao remover o disco o fluxo sobre o hemisfério fica maior.

Resposta

\dfrac{405\pi}{4}

Exercícios relacionados