Encontre a derivada da função: y = ln(sen(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função . Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos onde . A função logarítmica natural e a função seno estão dentro uma da outra.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta em relação a é a derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a . Matematicamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. A derivada de em relação a é :
E a derivada de em relação a é :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
Lembrando que , ficamos com:

Passo 6

Reconhecendo que é a definição de cotangente, podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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