Defina o número de Euler, (e), de duas maneiras diferentes. Mostre que essas duas definições são equivalentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa definir o número de Euler, que é o famoso e, de duas maneiras diferentes. Depois, mostrar que essas duas definições são basicamente a mesma coisa, ou seja, são equivalentes. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites e sequências, além de usar algumas fórmulas matemáticas simples.

Passo 2

A primeira maneira de definir o número e é usando o limite de uma sequência. A definição fica assim:
Isso significa que, se a gente aumentar o valor de n cada vez mais, a expressão vai se aproximando do número e.

Passo 3

A segunda maneira de definir e é usando uma série infinita, que é uma soma de muitos termos. A definição fica assim:
Aqui, representa o fatorial de k, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até k. Por exemplo, . Essa soma vai indo até o infinito, mas a gente pode ver que ela converge para o número e.

Passo 4

Agora que temos as duas definições, vamos mostrar que elas são equivalentes, ou seja, que levam ao mesmo resultado. Para isso, vamos começar expandindo a expressão da primeira definição usando o binômio de Newton.
Simplificando os termos:
Quando n tende ao infinito, os termos vão se tornando bem pequenos e podem ser desprezados:

Resposta

Assim, mostramos que as duas definições do número de Euler e são equivalentes:
Isso confirma que as duas maneiras de definir e realmente levam ao mesmo número.

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