Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(4 x-x^{2}\right)^{100}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = (4x - x^2)^{100}.
O conteúdo envolvido é derivada de função composta, então vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 4x - x^2
e a função externa
h(u) = u^{100}.
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f(x) = h(u(x)) = [u(x)]^{100}
e, pela regra da cadeia,
f'(x) = h'(u(x)) \cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}(4x - x^2) = 4 - 2x.

Passo 4

Substituímos na expressão de f'(x):
f'(x) = 100\,[u(x)]^{99}\,(4 - 2x) = 100\,(4x - x^2)^{99}\,(4 - 2x).
Para simplificar, note que
4 - 2x = 2\,(2 - x),
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f'(x) = 200\,(4x - x^2)^{99}\,(2 - x).

Resposta

f'(x) = 200\,(4x - x^2)^{99}\,(2 - x).

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