Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(x^{4}+3 x^{2}-2\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{5}.
Este é um típico caso de aplicação da regra da cadeia, em que temos uma função externa h(u)=u^{5} composta com uma interna u(x)=x^{4}+3x^{2}-2.

Passo 2

Definimos a parte interna e a externa:
u(x)=x^{4}+3x^{2}-2,
h(u)=u^{5}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr) =4x^{3}+6x.

Passo 4

Pela regra da cadeia temos
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Como h'(u)=5u^{4}, obtemos
f'(x)=5\bigl(u(x)\bigr)^{4}\cdot\bigl(4x^{3}+6x\bigr).

Passo 5

Substituindo u(x)=x^{4}+3x^{2}-2 e, se quisermos, fatorando 4x^{3}+6x=2x(2x^{2}+3), resulta
f'(x) =5\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}\,(4x^{3}+6x) =10x\,(2x^{2}+3)\,\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}.

Resposta

f'(x) =10x\,(2x^{2}+3)\,\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}.

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