Encontre a derivada das funções.
Se f(x)=\int_{0}^{x} x^{2} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t, encontre f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\int_{0}^{x}x^{2}\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede f'(x). Aqui usamos o Teorema de Leibniz para derivar integrais em que o integrando depende de x e o limite superior também é x.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que, se
f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(x,t)\,dt,
então
f'(x)=g\bigl(x,b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;g\bigl(x,a(x)\bigr)\,a'(x)\;+\;\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)\,dt.
No nosso caso, a(x)=0 (logo a'(x)=0) e b(x)=x (logo b'(x)=1).

Passo 3

Identificamos
g(x,t)=x^{2}\,\sin\bigl(t^{2}\bigr).
Para usar a fórmula, precisamos de \partial g/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}g(x,t) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\sin(t^{2})\bigr) =2x\,\sin\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos o termo de fronteira em t=x:
g\bigl(x,x\bigr)=x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr),
e o termo na integral de \partial g/\partial x:
\int_{0}^{x}2x\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =2x\int_{0}^{x}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 5

Substituindo na Regra de Leibniz, obtemos
f'(x) =x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) \;+\;2x\int_{0}^{x}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.

Resposta

f'(x) = x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + 2x\int_{0}^{x}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.

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