Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
F(x, y)=(y, x)

Passo 1

O enunciado pede para fazermos um esboço do campo vetorial \!F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por
F(x,y) = (y,x).
Isso é parte de Cálculo Vetorial, em que representamos graficamente vetores em alguns pontos do plano para entender o padrão do campo.

Passo 2

Para capturar a ideia geral do campo, escolhemos uma pequena malha de pontos simétricos em torno da origem, por exemplo (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) e também (1,1), (-1,-1), (1,-1), (-1,1).

Passo 3

Em cada ponto calculamos F:
F(1,0) = (0,1),\quad F(0,1) = (1,0),\quad F(-1,0) = (0,-1),\quad F(0,-1)=(-1,0),
F(1,1) = (1,1),\quad F(-1,-1)=(-1,-1),\quad F(1,-1)=(-1,1),\quad F(-1,1)=(1,-1).

Passo 4

Interpretando esses resultados, vemos que em cada ponto (x,y) o vetor F(x,y) é simplesmente a reflexão do próprio vetor posição (x,y) em torno da reta y=x. Assim,
• em (1,0) desenhamos uma seta de comprimento 1 apontando para cima;
• em (0,1) uma seta de comprimento 1 apontando para a direita;
• em (-1,0) uma seta de comprimento 1 apontando para baixo;
• em (0,-1) uma seta de comprimento 1 apontando para a esquerda;
• em (1,1) e (-1,-1) as setas são diagonais ao longo da direção \pm(1,1);
• em (1,-1) e (-1,1) as setas são diagonais ao longo de \pm(-1,1).

Resposta

Em (1,0): seta até (1,0)+(0,1)=(1,1).
Em (0,1): seta até (0,1)+(1,0)=(1,1).
Em (-1,0): seta até (-1,0)+(0,-1)=(-1,-1).
Em (0,-1): seta até (0,-1)+(-1,0)=(-1,-1).
Em (1,1): seta até (1,1)+(1,1)=(2,2).
Em (-1,-1): seta até (-1,-1)+(-1,-1)=(-2,-2).
Em (1,-1): seta até (1,-1)+(-1,1)=(0,0).
Em (-1,1): seta até (-1,1)+(1,-1)=(0,0).
O esboço corresponde a setas refletindo cada vetor posição em torno da reta y=x.

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