Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.\n
Informações dadas que vamos usar: e a parte dentro da raiz é
, que exige
para a função ser real (ou seja,
).\n
O que se pede: calcular , a derivada em termos de
.
Informações dadas que vamos usar:
O que se pede: calcular
Passo 2
Vamos reescrever a raiz como potência para facilitar as regras de derivação:
Aqui há um produto entre duas funções de
:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto: se
então
Vou explicar essa fórmula de maneira simples: a variação de um produto vem da soma das variações em cada fator (mantendo o outro fixo) — é por isso do termo
mais
.
Passo 3
Calculemos
. Como
, temos
Isso é direto: a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora precisamos de
com
. Aqui usamos a regra da cadeia: se
com
e
, então
A derivada de
é
. Então, aplicando a cadeia, substituímos
.
Passo 5
Calculemos
. Como
,
Agora juntamos:
Multiplicando
por
obtemos
, logo
Passo 6
Aplicando a regra do produto com os resultados obtidos:
Isso nos dá
Passo 7
Para simplificar, colocamos os termos sobre o mesmo denominador
:
Essa forma fica mais compacta e clara.
Passo 8
Observação sobre domínio: a expressão final usa
no denominador, então a fórmula é válida e bem definida para
. Nos pontos
a raiz é zero e a expressão fica indeterminada (é preciso analisar derivadas laterais se interessar), mas para a maioria dos exercícios a resposta dada para
é a desejada.