Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=t \sqrt{1-4 t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \;f(t)=t\sqrt{1-4t^{2}}\;.\n
Informações dadas que vamos usar: \;f(t)=t\sqrt{1-4t^{2}}\; e a parte dentro da raiz é \;1-4t^{2}\;, que exige \;1-4t^{2}\ge 0\; para a função ser real (ou seja, |t|\le 1/2).\n
O que se pede: calcular \;f'(t)\;, a derivada em termos de t.

Passo 2

Vamos reescrever a raiz como potência para facilitar as regras de derivação:
f(t)=t\,(1-4t^{2})^{1/2}.
Aqui há um produto entre duas funções de t: \;u(t)=t\; e \;v(t)=(1-4t^{2})^{1/2}\;. Para derivar um produto usamos a regra do produto: se \;f(t)=u(t)\,v(t)\; então
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Vou explicar essa fórmula de maneira simples: a variação de um produto vem da soma das variações em cada fator (mantendo o outro fixo) — é por isso do termo u'v mais uv'.

Passo 3

Calculemos u'(t). Como \;u(t)=t\;, temos
u'(t)=1.
Isso é direto: a derivada de \;t\; em relação a t é \;1.

Passo 4

Agora precisamos de v'(t) com \;v(t)=(1-4t^{2})^{1/2}\;. Aqui usamos a regra da cadeia: se \;v(t)=h(g(t))\; com h(x)=x^{1/2} e g(t)=1-4t^{2}, então
v'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t).
A derivada de h(x)=x^{1/2} é h'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}. Então, aplicando a cadeia, substituímos x=g(t).

Passo 5

Calculemos g'(t). Como \;g(t)=1-4t^{2}\;,
g'(t)=-8t.
Agora juntamos:
v'(t)=\frac{1}{2}(1-4t^{2})^{-1/2}\cdot(-8t).
Multiplicando \tfrac{1}{2} por -8t obtemos -4t, logo
v'(t)=-4t\,(1-4t^{2})^{-1/2}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto com os resultados obtidos:
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=1\cdot(1-4t^{2})^{1/2}+t\cdot\big(-4t\,(1-4t^{2})^{-1/2}\big).
Isso nos dá
f'(t)=(1-4t^{2})^{1/2}-4t^{2}\,(1-4t^{2})^{-1/2}.

Passo 7

Para simplificar, colocamos os termos sobre o mesmo denominador (1-4t^{2})^{1/2}:
f'(t)=\frac{(1-4t^{2})-4t^{2}}{(1-4t^{2})^{1/2}}=\frac{1-8t^{2}}{(1-4t^{2})^{1/2}}.
Essa forma fica mais compacta e clara.

Passo 8

Observação sobre domínio: a expressão final usa (1-4t^{2})^{1/2} no denominador, então a fórmula é válida e bem definida para |t|<1/2. Nos pontos t=\pm 1/2 a raiz é zero e a expressão fica indeterminada (é preciso analisar derivadas laterais se interessar), mas para a maioria dos exercícios a resposta dada para |t|<1/2 é a desejada.

Resposta

f'(t)=\frac{1-8t^{2}}{\sqrt{1-4t^{2}}}

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