Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\left(x^{2}+5 x\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f. Informação dada:
f(x)=\sqrt{\left(x^{2}+5 x\right)^{3}}.
Pergunta explícita: calcular f'(x) (a derivada da função em termos de x). Observação útil (apenas identificação dos dados): a expressão envolve uma raiz quadrada de uma potência, ou seja, combina potências e uma função polinomial no interior.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função de uma forma mais conveniente para derivar usando potências. Lembrando que a raiz quadrada corresponde a elevar à potência 1/2, temos:
\sqrt{\left(x^{2}+5 x\right)^{3}}=\left(x^{2}+5 x\right)^{3\cdot\frac{1}{2}}=\left(x^{2}+5 x\right)^{\frac{3}{2}}.
Isso é só uma transformação algébrica: a raiz de uma potência transforma o expoente multiplicando por 1/2.

Passo 3

Agora usemos a regra da cadeia junto com a regra da potência. Vou explicar as duas regras de forma bem didática:
  • Regra da potência (para funções do tipo [u(x)]^{n}): a derivada é n\,[u(x)]^{n-1}\cdot u'(x). Aqui n é um número real (o expoente) e u(x) é uma função interior.
  • Regra da cadeia: quando temos uma função composta g(h(x)), a derivada é g'(h(x))\cdot h'(x). A regra da potência acima é um caso da cadeia em que g(t)=t^n e h(x)=u(x).
Exemplo curto para fixar: se y=(3x+1)^2, aplicando a regra da potência+cadeia obtemos y'=2(3x+1)\cdot 3. Aqui u(x)=3x+1, n=2, e u'(x)=3.

Passo 4

Identificamos, para a nossa função:
u(x)=x^{2}+5x\quad\text{e}\quad n=\frac{3}{2}.
Calculamos a derivada da função interior u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+5x\big)=2x+5.
Expliquei: ao derivar x^{2} usamos a regra d(x^{2})/dx=2x e ao derivar 5x usamos d(5x)/dx=5.

Passo 5

Aplicando a regra da potência (com a cadeia), a derivada de f(x)=\big(u(x)\big)^{\frac{3}{2}} é
f'(x)=\frac{3}{2}\big(u(x)\big)^{\frac{3}{2}-1}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}+5x e u'(x)=2x+5, obtemos
f'(x)=\frac{3}{2}\big(x^{2}+5x\big)^{\frac{1}{2}}\cdot(2x+5).

Passo 6

Podemos escrever a resposta de forma um pouco mais limpa, lembrando que \big(x^{2}+5x\big)^{\frac{1}{2}} é a mesma coisa que \sqrt{x^{2}+5x}. Assim:
f'(x)=\frac{3(2x+5)}{2}\sqrt{x^{2}+5x}.
Comentário rápido de domínio (útil para a prova): a função original está definida nos x tais que \left(x^{2}+5x\right)^{3}\ge 0, o que equivale a x^{2}+5x\ge 0, i.e., x\le -5 ou x\ge 0. A expressão da derivada acima vale para os pontos do domínio onde a função está definida (e dá a forma explícita da derivada nesses pontos).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3(2x+5)}{2}\sqrt{x^{2}+5x}

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