Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
. Informação dada:
Pergunta explícita: calcular
(a derivada da função em termos de
). Observação útil (apenas identificação dos dados): a expressão envolve uma raiz quadrada de uma potência, ou seja, combina potências e uma função polinomial no interior.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função de uma forma mais conveniente para derivar usando potências. Lembrando que a raiz quadrada corresponde a elevar à potência
, temos:
Isso é só uma transformação algébrica: a raiz de uma potência transforma o expoente multiplicando por
.
Passo 3
Agora usemos a regra da cadeia junto com a regra da potência. Vou explicar as duas regras de forma bem didática:
- Regra da potência (para funções do tipo
): a derivada é . Aqui é um número real (o expoente) e é uma função interior. - Regra da cadeia: quando temos uma função composta
, a derivada é . A regra da potência acima é um caso da cadeia em que e .
Exemplo curto para fixar: se
, aplicando a regra da potência+cadeia obtemos
. Aqui
,
, e
.
Passo 4
Identificamos, para a nossa função:
Calculamos a derivada da função interior
:
Expliquei: ao derivar
usamos a regra
e ao derivar
usamos
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência (com a cadeia), a derivada de
é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Podemos escrever a resposta de forma um pouco mais limpa, lembrando que
é a mesma coisa que
. Assim:
Comentário rápido de domínio (útil para a prova): a função original está definida nos
tais que
, o que equivale a
, i.e.,
ou
. A expressão da derivada acima vale para os pontos do domínio onde a função está definida (e dá a forma explícita da derivada nesses pontos).