Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas e relevantes:
- A função é uma função logarítmica com base
aplicada ao argumento . - O argumento do logaritmo deve ser positivo, então o domínio da função (e da derivada) é
, ou seja . - Precisamos fornecer
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos reescrever a função usando a fórmula de mudança de base para logaritmos. A fórmula é:
onde
,
(a base do logaritmo) e
(o argumento). Aqui:
-
é a base (uma constante), -
é a função dentro do logaritmo (depende de ).
Aplicando a fórmula:
Observação:
é uma constante (número), então podemos tratá-la como fator constante ao derivar.
Passo 3
Agora vamos lembrar da regra de derivação do logaritmo natural composta (cadeia). A regra é:
onde
é uma função diferenciável e
é sua derivada. Aqui definimos
Calculamos
. Como
é uma função linear, sua derivada é o coeficiente de
:
Passo 4
Derivamos
. Como
é constante, usamos a constante multiplicativa:
Pela regra do ln composta (Passo 3):
Portanto
Passo 5
Simplificando a expressão multiplicativa, obtemos uma forma final mais direta:
Comentário prático: essa é a forma que você deve memorizar para aplicar rápida em prova — para
a derivada é
. Aqui
,
,
.
Passo 6
Lembrete sobre domínio: a fórmula vale onde a função está definida, ou seja para
. Se for preciso usar em um ponto limite, verifique a condição de domínio.