Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\log _{4}(8 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\log_{4}(8x-1).
Informações dadas e relevantes:
  • A função é uma função logarítmica com base 4 aplicada ao argumento 8x-1.
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo, então o domínio da função (e da derivada) é 8x-1>0, ou seja x>\frac{1}{8}.
  • Precisamos fornecer f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos reescrever a função usando a fórmula de mudança de base para logaritmos. A fórmula é:
\log_{a} u = \frac{\ln u}{\ln a},
onde a>0, a\neq 1 (a base do logaritmo) e u>0 (o argumento). Aqui:
  • a=4 é a base (uma constante),
  • u=8x-1 é a função dentro do logaritmo (depende de x).
Aplicando a fórmula:
f(x)=\log_{4}(8x-1)=\frac{\ln(8x-1)}{\ln 4}.
Observação: \ln 4 é uma constante (número), então podemos tratá-la como fator constante ao derivar.

Passo 3

Agora vamos lembrar da regra de derivação do logaritmo natural composta (cadeia). A regra é:
\frac{d}{dx}\big(\ln(u(x))\big)=\frac{u'(x)}{u(x)},
onde u(x) é uma função diferenciável e u'(x) é sua derivada. Aqui definimos
u(x)=8x-1.
Calculamos u'(x). Como u(x) é uma função linear, sua derivada é o coeficiente de x:
u'(x)=8.

Passo 4

Derivamos f(x)=\dfrac{\ln(8x-1)}{\ln 4}. Como \ln 4 é constante, usamos a constante multiplicativa:
f'(x)=\frac{1}{\ln 4}\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(8x-1)\big).
Pela regra do ln composta (Passo 3):
\frac{d}{dx}\big(\ln(8x-1)\big)=\frac{8}{8x-1}.
Portanto
f'(x)=\frac{1}{\ln 4}\cdot\frac{8}{8x-1}.

Passo 5

Simplificando a expressão multiplicativa, obtemos uma forma final mais direta:
f'(x)=\frac{8}{(8x-1)\ln 4}.
Comentário prático: essa é a forma que você deve memorizar para aplicar rápida em prova — para \log_a(u(x)) a derivada é \dfrac{u'(x)}{u(x)\ln a}. Aqui u'(x)=8, u(x)=8x-1, \ln a=\ln 4.

Passo 6

Lembrete sobre domínio: a fórmula vale onde a função está definida, ou seja para x>\dfrac{1}{8}. Se for preciso usar em um ponto limite, verifique a condição de domínio.

Resposta

f'(x)=\frac{8}{(8x-1)\ln 4}

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