Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: e a raiz quadrada
exige que o domínio natural seja
.
Observação importante (sem resolver ainda): a fórmula final da derivada envolverá no denominador, então teremos cuidado especial em
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante (sem resolver ainda): a fórmula final da derivada envolverá
Passo 2
Reescrever a função usando a exponencial natural facilita a diferenciação. Usamos a identidade
. Aplicando aqui:
Explicação didática: escrever em termos de
é útil porque sabemos que a derivada de
é simplesmente
. Aqui
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. Vou lembrar a regra de forma bem direta: se
, então
.
Então precisamos calcular para
. Note que
é uma constante (número), então
Então precisamos calcular
Agora a derivada de
(ou
) é
Explicando: usamos a regra de potência
com
.
Passo 4
Agora juntamos tudo: pela regra da cadeia,
Voltando à forma original em base
(mais legível), lembrando que
, obtemos
Simplificação alternativa útil:
. Assim uma forma equivalente é
Observação sobre o domínio e diferenciabilidade: a expressão obtida exige
no denominador, ou seja, é válida para
. Em
a derivada não é finita (o quociente incremental tende a infinito), portanto a função não é diferenciável em
.