Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função \displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}} e a raiz quadrada \displaystyle \sqrt{x} exige que o domínio natural seja \displaystyle x\ge 0.
Observação importante (sem resolver ainda): a fórmula final da derivada envolverá \displaystyle \sqrt{x} no denominador, então teremos cuidado especial em \displaystyle x=0.

Passo 2

Reescrever a função usando a exponencial natural facilita a diferenciação. Usamos a identidade \displaystyle a^{b}=e^{b\ln a}. Aplicando aqui:
f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}\,\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)}.
Explicação didática: escrever em termos de e^{(\cdot)} é útil porque sabemos que a derivada de \displaystyle e^{u(x)} é simplesmente \displaystyle e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui \displaystyle u(x)=\sqrt{x}\,\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Vou lembrar a regra de forma bem direta: se \displaystyle y=e^{u(x)}, então \displaystyle y'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Então precisamos calcular u'(x) para \displaystyle u(x)=\sqrt{x}\,\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right). Note que \displaystyle \ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right) é uma constante (número), então
u'(x)=\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)\cdot\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).
Agora a derivada de \displaystyle \sqrt{x} (ou \displaystyle x^{1/2}) é
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicando: usamos a regra de potência \displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} com n=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora juntamos tudo: pela regra da cadeia,
f'(x)=e^{\sqrt{x}\,\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)}\cdot \ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Voltando à forma original em base \displaystyle \tfrac{1}{4} (mais legível), lembrando que e^{\sqrt{x}\ln(1/4)}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}}, obtemos
f'(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)}{2\sqrt{x}}.
Simplificação alternativa útil: \displaystyle \ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-\ln 4. Assim uma forma equivalente é
f'(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\ln 4}{2\sqrt{x}}.
Observação sobre o domínio e diferenciabilidade: a expressão obtida exige \displaystyle \sqrt{x}\neq 0 no denominador, ou seja, é válida para \displaystyle x>0. Em \displaystyle x=0 a derivada não é finita (o quociente incremental tende a infinito), portanto a função não é diferenciável em \displaystyle x=0.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)}{2\sqrt{x}},\quad x>0

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