Encontre a derivada utilizando a derivação logarítmica.
y = raiz(x^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de usando derivação logarítmica. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente, técnicas de diferenciação. A derivação logarítmica é útil quando temos funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar os cálculos. A função pode ser escrita como ou .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivação logarítmica. Começamos tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 5

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 6

Agora, vamos diferenciar o lado direito. Aplicamos a regra do produto para :

Passo 7

Colocando tudo de volta na equação, temos:

Passo 8

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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