Encontra a equação da reta tangente à curva y = 2 / (1 + e^(-x)) no ponto x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o ponto na curva onde . Para isso, substituímos por 0 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Isso é feito calculando a derivada da função em relação a e depois avaliando essa derivada em .
A função é:
Vamos calcular a derivada :
Usando a regra da cadeia:
Agora, avaliamos em :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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