1. Encontre a derivada de y=\sqrt[4]{2}+3 x+4 x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
y=\sqrt[4]{2}+3 x+4 x^{3}.
Informações dadas:
  • Há um termo constante \sqrt[4]{2} (que também pode ser escrito como 2^{1/4}).
  • Há um termo linear 3x.
  • Há um termo cúbico 4x^{3}.
    O que se pede: calcular y' ou \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Relembrando regras básicas que usaremos (com explicação simples):
  • Derivada de uma constante: se c é constante então
\frac{d}{dx}c = 0.
Intuição: constante não varia com x, sua inclinação é zero (ex.: a reta y=5 tem derivada 0).

Passo 3

Regra do poder (power rule), que usamos para potências de x:
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Explicando por que funciona (exemplo concreto para n=3): calcular a derivada de x^{3} pela definição
\frac{d}{dx}x^{3}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3} obtemos x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}. Substituindo:
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=3x^{2}+3x h+h^{2}.
Fazendo h\to0 sobra 3x^{2}, que é exatamente n x^{n-1} para n=3. A mesma ideia geral leva à fórmula para outros n.

Passo 4

Linearidade da derivada (para somas e constantes multiplicativas):
\frac{d}{dx}\big(a f(x)+b g(x)\big)=a f'(x)+b g'(x),
onde a,b são constantes. Isso permite derivar termo a termo.

Passo 5

Reescrevendo a função de forma clara:
y=2^{1/4}+3x+4x^{3}.
Aplicaremos a linearidade: derivada de y é soma das derivadas de cada termo.

Passo 6

Derivada termo a termo:
  • Para o termo constante 2^{1/4}:
\frac{d}{dx}2^{1/4}=0.
  • Para o termo linear 3x: a derivada de x é 1, logo
\frac{d}{dx}(3x)=3\cdot\frac{d}{dx}x=3\cdot 1=3.
  • Para o termo 4x^{3}: usar a regra do poder com a constante 4:
\frac{d}{dx}(4x^{3})=4\cdot\frac{d}{dx}x^{3}=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.

Passo 7

Somando as derivadas:
y' = 0 + 3 + 12x^{2}=3+12x^{2}.
Também pode ser escrito como \dfrac{dy}{dx}=3+12x^{2}.

Resposta

y'=3+12x^{2}

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