1. Encontre a derivada de y=\sin (2 x).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função y=\sin(2x) em relação a x.
Informações dadas:
  • A função é y=\sin(2x).
  • A variável independente é x.
  • O que se pede é \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

O que é derivada (intuição rápida)?
A derivada de uma função no ponto diz a taxa de variação instantânea da função em relação à variável. Formalmente, para uma função f(x),
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui queremos aplicar essa ideia a y=\sin(2x), mas é muito mais prático usar regras de derivação que resumem limites comuns (isso poupa trabalho na prova).

Passo 3

Relembrando duas regras básicas que vamos usar:
  1. A derivada da função seno (com argumento x) é
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  1. A derivada de uma função linear a x (onde a é constante) é
\frac{d}{dx}(a x)=a.
Explicação curta do item 2: se g(x)=a x, então
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{a(x+h)-ax}{h}=\frac{a h}{h}=a,
e tomando h\to0 obtemos g'(x)=a.

Passo 4

Por que vale \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)? (esquema de demonstração curta)
Usando a identidade trigonométrica \sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h, temos
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Tomando o limite h\to0 e usando os limites conhecidos \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0, obtemos
\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x,
ou seja \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x). Isso é o fundamento da regra 1.

Passo 5

Agora um conceito essencial: regra da cadeia (intuição e enunciado).
Quando temos uma função composta y=f(g(x)), a derivada é dada por
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Intuição simples: pequeno aumento em x provoca um aumento em g(x) (medido por g'(x)) que por sua vez provoca aumento em f (medido por f' avaliado em g(x)). Na prova muitas vezes basta lembrar e aplicar a fórmula.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso. Identificar as funções interna e externa:
  • Função externa f(u)=\sin(u).
  • Função interna u=g(x)=2x.
    Então y=f(g(x))=\sin(2x)=\sin(u) com u=2x.

Passo 7

Calcular passo a passo usando a regra da cadeia:
  • Primeiro, a derivada da externa em termos de u é f'(u)=\cos(u). Então f'(g(x))=\cos(g(x))=\cos(2x).
  • Segundo, a derivada da interna é g'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x)=2 (pela regra do passo 3).
    Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)=\cos(2x)\cdot 2.
Podemos reescrever de forma habitual:
\frac{dy}{dx}=2\cos(2x).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2\cos(2x)

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