- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
em relação a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A variável independente é
. - O que se pede é
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
O que é derivada (intuição rápida)?
A derivada de uma função no ponto diz a taxa de variação instantânea da função em relação à variável. Formalmente, para uma função ,
A derivada de uma função no ponto diz a taxa de variação instantânea da função em relação à variável. Formalmente, para uma função
Aqui queremos aplicar essa ideia a
, mas é muito mais prático usar regras de derivação que resumem limites comuns (isso poupa trabalho na prova).
Passo 3
Relembrando duas regras básicas que vamos usar:
- A derivada da função seno (com argumento
) é
- A derivada de uma função linear
(onde é constante) é
Explicação curta do item 2: se
, então
e tomando
obtemos
.
Passo 4
Por que vale
? (esquema de demonstração curta)
Usando a identidade trigonométrica , temos
Usando a identidade trigonométrica
Tomando o limite
e usando os limites conhecidos
e
, obtemos
ou seja
. Isso é o fundamento da regra 1.
Passo 5
Agora um conceito essencial: regra da cadeia (intuição e enunciado).
Quando temos uma função composta , a derivada é dada por
Quando temos uma função composta
Intuição simples: pequeno aumento em
provoca um aumento em
(medido por
) que por sua vez provoca aumento em
(medido por
avaliado em
). Na prova muitas vezes basta lembrar e aplicar a fórmula.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso. Identificar as funções interna e externa:
- Função externa
. - Função interna
.
Entãocom .
Passo 7
Calcular passo a passo usando a regra da cadeia:
- Primeiro, a derivada da externa em termos de
é . Então . - Segundo, a derivada da interna é
(pela regra do passo 3).
Pela regra da cadeia,
Podemos reescrever de forma habitual: