Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=\sin x \cdot \tan x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função dada.
Informação fornecida: a função é
f(x)=\sin x\cdot \tan x
Pergunta implícita: encontrar f'(x). (Se quisermos a mesma derivada trocando a variável, por exemplo f(u) ou h(t), basta substituir x pela nova variável.)
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): quando uma função é produto de duas funções, u(x) e v(x), a derivada é dada pela regra do produto:
( u\cdot v )' = u'\,v + u\,v'.
Aqui u' significa “derivada de u em relação à variável” — por exemplo, se u=u(x) então u'=\dfrac{du}{dx}. A regra diz: derivamos a primeira mantendo a segunda, somamos à primeira mantida vezes a derivada da segunda. É a ferramenta natural para produtos.
Passo 3
Identificamos as duas partes do produto na nossa função:
u(x)=\sin x,\qquad v(x)=\tan x.
Agora precisamos das derivadas dessas partes individualmente.
Derivada de \sin x: sabemos que
\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Isto vem da definição e das propriedades trigonométricas básicas.
Derivada de \tan x: uma forma rápida de lembrar é que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x,
onde \operatorname{sec} x é definido como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
Se quiser ver por que é \operatorname{sec}^2 x, derive \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} usando a regra do quociente:
Essas formas são equivalentes; a mais elegante é \sin x(1+\operatorname{sec}^2 x).
Passo 7
Observação prática para a prova e variação de variável: se a função fosse escrita com outra letra, por exemplo f(u)=\sin u\cdot\tan u ou h(t)=\sin t\cdot\tan t, o procedimento é idêntico — só trocamos x pela nova variável. Assim: