Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=\sin x \cdot \tan x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função dada.
Informação fornecida: a função é
f(x)=\sin x\cdot \tan x
Pergunta implícita: encontrar f'(x). (Se quisermos a mesma derivada trocando a variável, por exemplo f(u) ou h(t), basta substituir x pela nova variável.)

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): quando uma função é produto de duas funções, u(x) e v(x), a derivada é dada pela regra do produto:
( u\cdot v )' = u'\,v + u\,v'.
Aqui u' significa “derivada de u em relação à variável” — por exemplo, se u=u(x) então u'=\dfrac{du}{dx}. A regra diz: derivamos a primeira mantendo a segunda, somamos à primeira mantida vezes a derivada da segunda. É a ferramenta natural para produtos.

Passo 3

Identificamos as duas partes do produto na nossa função:
u(x)=\sin x,\qquad v(x)=\tan x.
Agora precisamos das derivadas dessas partes individualmente.
Derivada de \sin x: sabemos que
\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Isto vem da definição e das propriedades trigonométricas básicas.
Derivada de \tan x: uma forma rápida de lembrar é que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x,
onde \operatorname{sec} x é definido como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
Se quiser ver por que é \operatorname{sec}^2 x, derive \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{(\cos x)\cdot(\cos x)-(\sin x)\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x,
onde usamos a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1.

Passo 4

Aplicando a regra do produto com os u e v que identificamos:
f'(x)=\underbrace{\frac{d}{dx}(\sin x)}_{=\cos x}\cdot \tan x+\sin x\cdot \underbrace{\frac{d}{dx}(\tan x)}_{=\operatorname{sec}^2 x}.
Portanto, em forma direta,
f'(x)=\cos x\cdot \tan x+\sin x\cdot \operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo (para que você consiga fazer rápido na prova): note que
\cos x\cdot \tan x=\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x.
Substituindo na expressão de f'(x),
f'(x)=\sin x+\sin x\cdot \operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Fatorando \sin x para ficar mais compacto:
f'(x)=\sin x\bigl(1+\operatorname{sec}^2 x\bigr).
Se preferir escrever em termos de \cos x (sem \operatorname{sec}), lembrando que \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, temos também
f'(x)=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2 x}\right) =\sin x\left(\frac{\cos^2 x+1}{\cos^2 x}\right).
Essas formas são equivalentes; a mais elegante é \sin x(1+\operatorname{sec}^2 x).

Passo 7

Observação prática para a prova e variação de variável: se a função fosse escrita com outra letra, por exemplo f(u)=\sin u\cdot\tan u ou h(t)=\sin t\cdot\tan t, o procedimento é idêntico — só trocamos x pela nova variável. Assim:
f'(u)=\cos u\cdot\tan u+\sin u\cdot\operatorname{sec}^2 u=\sin u\bigl(1+\operatorname{sec}^2 u\bigr),
h'(t)=\cos t\cdot\tan t+\sin t\cdot\operatorname{sec}^2 t=\sin t\bigl(1+\operatorname{sec}^2 t\bigr).

Resposta

f'(x)=\cos x\cdot \tan x+\sin x\cdot \operatorname{sec}^2 x=\sin x\bigl(1+\operatorname{sec}^2 x\bigr)
f'(u)=\cos u\cdot \tan u+\sin u\cdot \operatorname{sec}^2 u=\sin u\bigl(1+\operatorname{sec}^2 u\bigr)
h'(t)=\cos t\cdot \tan t+\sin t\cdot \operatorname{sec}^2 t=\sin t\bigl(1+\operatorname{sec}^2 t\bigr)

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