Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=2 x^{3 / 2}+4 e^{\left(\frac{5 x}{4}\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a derivada da função dada. A função fornecida é
f(x)=2x^{3/2}+4e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}.
O que se quer: calcular f'(x). (Se trocarmos a letra da variável, por exemplo para u ou t, basta substituir x por essa letra no resultado.)

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo 2x^{3/2}. Primeiro, lembro da regra de potência (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^n\big)=n x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{3}{2}. Aplicando a regra de potência ao termo x^{3/2} obtemos
\frac{d}{dx}\big(x^{3/2}\big)=\frac{3}{2}x^{3/2-1}=\frac{3}{2}x^{1/2}.
Como o termo é multiplicado por 2, usamos a linearidade da derivada (constante multiplicativa sai para frente):
\frac{d}{dx}\big(2x^{3/2}\big)=2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=3x^{1/2}.
Nota didática: x^{1/2} é a mesma coisa que \sqrt{x}, então esse pedaço é 3\sqrt{x}.

Passo 3

Agora o segundo termo 4e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}. Aqui usamos a regra da derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se g(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)\,e^{g(x)}.
No nosso caso g(x)=\dfrac{5x}{4}. Calculamos g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{5x}{4}\right)=\frac{5}{4}.
Aplicando a regra da cadeia e lembrando do fator constante 4 que multiplica a exponencial:
\frac{d}{dx}\left(4e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}\right)=4\cdot\frac{5}{4}\,e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}=5e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}.
Observação prática: o 4 cancela com o denominador 4, sobrando 5.

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas), obtemos
f'(x)=3x^{1/2}+5e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}.
Se preferir escrever com raiz, isso é
f'(x)=3\sqrt{x}+5e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}.
E se a variável se chamar u em vez de x, basta trocar x por u:
f'(u)=3u^{1/2}+5e^{\left(\frac{5u}{4}\right)}.

Resposta

f'(x)=3x^{1/2}+5e^{\left(\frac{5x}{4}\right)}
f'(u)=3u^{1/2}+5e^{\left(\frac{5u}{4}\right)}

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