Encontre as derivadas parciais de primeira ordem f(x, y, z)=z \arctan \left(\frac{y}{x}\right) no ponto (5,5,1).
(a) \frac{\partial f}{\partial x}(5,5,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de primeira ordem de f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) em relação a x, avaliada no ponto (5,5,1).
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • O ponto onde devemos avaliar é (x,y,z)=(5,5,1).
    A pergunta específica (parte (a)) é:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(5,5,1).

Passo 2

Entendendo o que é derivada parcial: \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z são mantidos constantes. Em cálculo prático, tratamos y e z como constantes e diferenciamos a expressão de f em relação a x usando as regras usuais (regra da cadeia, produto, quociente, etc.).

Passo 3

Reescrevendo a função para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Definimos
u(x,y)=\frac{y}{x},
então
f(x,y,z)=z\arctan\big(u(x,y)\big).
Ao derivar em relação a x com y e z constantes, z é constante multiplicativa e usamos a regra da cadeia para \arctan:
a derivada de \arctan(u) em relação a x é
\frac{d}{dx}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 4

Calcular \dfrac{du}{dx} com y constante. Como u=\dfrac{y}{x}=y\cdot x^{-1}, temos
\frac{du}{dx} = y\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{y}{x^{2}}.
Agora aplicando tudo em f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = z\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).

Passo 5

Fazer a álgebra para simplificar a expressão. Observando que
1+\left(\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}},
temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = z\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = -\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto a fórmula fechada é
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = -\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 6

Avaliar a expressão no ponto (x,y,z)=(5,5,1). Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(5,5,1) = -\frac{1\cdot 5}{5^{2}+5^{2}} = -\frac{5}{25+25} = -\frac{5}{50} = -\frac{1}{10}.

Resposta

-\dfrac{1}{10}

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