Encontre as derivadas parciais de primeira ordem
no ponto
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
, avaliada no ponto
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar é
.
A pergunta específica (parte (a)) é: - Calcular
.
Passo 2
Entendendo o que é derivada parcial:
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
são mantidos constantes. Em cálculo prático, tratamos
e
como constantes e diferenciamos a expressão de
em relação a
usando as regras usuais (regra da cadeia, produto, quociente, etc.).
Passo 3
Reescrevendo a função para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Definimos
então
Ao derivar em relação a
com
e
constantes,
é constante multiplicativa e usamos a regra da cadeia para
:
a derivada de em relação a
é
a derivada de
Passo 4
Calcular
com
constante. Como
, temos
Agora aplicando tudo em
:
Passo 5
Fazer a álgebra para simplificar a expressão. Observando que
temos
Portanto a fórmula fechada é
Passo 6
Avaliar a expressão no ponto
. Substituindo: