Encontre as derivadas parciais de primeira ordem f(x, y, z)=z \arctan \left(\frac{y}{x}\right) no ponto (5,5,1).
(b) \frac{\partial f}{\partial y}(5,5,1)
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e pede as derivadas parciais de primeira ordem no ponto (5,5,1). Em particular a parte (b) solicita \dfrac{\partial f}{\partial y}(5,5,1).
Informações relevantes:
A função é f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
O ponto onde devemos avaliar é (x,y,z)=(5,5,1).
Vamos precisar das derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z} (pelo menos a de y para a parte (b)).
Passo 2
Ideia de resolução (sem cálculos ainda): a função tem a forma f(x,y,z)=z\cdot g\big(\tfrac{y}{x}\big) com g(u)=\arctan(u). Para obter as derivadas parciais em x e y vamos usar a regra da cadeia: se u=\dfrac{y}{x} então
Também precisamos da derivada de g(u)=\arctan(u), que é uma fórmula padrão (agora explico).
Passo 3
Fórmula que vamos usar e por que ela vale (mini-aula):
Derivada de \arctan(u) em relação a u é
g'(u)=\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Explicação rápida: isso é uma derivada básica de funções elementares (pode ser obtida via derivada inversa da tangente ou por definição). Aqui u é uma expressão que depende de x,y (no caso u=y/x), então aplicamos a regra da cadeia: multiplicamos por \dfrac{\partial u}{\partial x} ou \dfrac{\partial u}{\partial y} conforme o caso.
Também precisaremos das derivadas de u=\dfrac{y}{x}:
Tratando y como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}(y\cdot x^{-1})=y\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{y}{x^{2}}.
Tratando x como constante, \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{1}{x}.
Passo 4
Cálculo detalhado de \dfrac{\partial f}{\partial x} (passo a passo):
Começo com f(x,y,z)=z\cdot \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Para a derivada parcial em xz é constante (tratada como multiplicador).