Encontre as derivadas parciais de primeira ordem f(x, y, z)=z \arctan \left(\frac{y}{x}\right) no ponto (5,5,1).
(b) \frac{\partial f}{\partial y}(5,5,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e pede as derivadas parciais de primeira ordem no ponto (5,5,1). Em particular a parte (b) solicita \dfrac{\partial f}{\partial y}(5,5,1).
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • O ponto onde devemos avaliar é (x,y,z)=(5,5,1).
  • Vamos precisar das derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z} (pelo menos a de y para a parte (b)).

Passo 2

Ideia de resolução (sem cálculos ainda): a função tem a forma f(x,y,z)=z\cdot g\big(\tfrac{y}{x}\big) com g(u)=\arctan(u). Para obter as derivadas parciais em x e y vamos usar a regra da cadeia: se u=\dfrac{y}{x} então
\frac{\partial}{\partial x}\big(g(u(x,y))\big)=g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(g(u(x,y))\big)=g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Também precisamos da derivada de g(u)=\arctan(u), que é uma fórmula padrão (agora explico).

Passo 3

Fórmula que vamos usar e por que ela vale (mini-aula):
  • Derivada de \arctan(u) em relação a u é
g'(u)=\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Explicação rápida: isso é uma derivada básica de funções elementares (pode ser obtida via derivada inversa da tangente ou por definição). Aqui u é uma expressão que depende de x,y (no caso u=y/x), então aplicamos a regra da cadeia: multiplicamos por \dfrac{\partial u}{\partial x} ou \dfrac{\partial u}{\partial y} conforme o caso.
Também precisaremos das derivadas de u=\dfrac{y}{x}:
  • Tratando y como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}(y\cdot x^{-1})=y\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{y}{x^{2}}.
  • Tratando x como constante, \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Cálculo detalhado de \dfrac{\partial f}{\partial x} (passo a passo):
  • Começo com f(x,y,z)=z\cdot \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Para a derivada parcial em x z é constante (tratada como multiplicador).
  • Aplicando regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = z\cdot \frac{d}{du}\arctan(u)\Big|_{u=\frac{y}{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right).
  • Substituindo g'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} e \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=-\dfrac{y}{x^{2}} obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = z\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
  • Agora simplifico a expressão: note que 1+\big(\dfrac{y}{x}\big)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}. Então
\frac{\partial f}{\partial x} = z\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = -\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=-\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 5

Cálculo detalhado de \dfrac{\partial f}{\partial y} (passo a passo):
  • Novamente f(x,y,z)=z\cdot\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Agora x e z são tratados como constantes ao derivar em y.
  • Aplicando regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot \frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right).
  • Como \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{1}{x}, vem
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
  • Simplificando usando 1+\big(\dfrac{y}{x}\big)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}:
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{z\,x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{z\,x}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z} (simples):
  • A função é linear em z com coeficiente \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), logo
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Portanto
\boxed{\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).}

Passo 7

Agora avalio as três derivadas no ponto (x,y,z)=(5,5,1). Primeiro calculo x^{2}+y^{2}=5^{2}+5^{2}=25+25=50.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}(5,5,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(5,5,1)=-\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{1\cdot 5}{50}=-\frac{5}{50}=-\frac{1}{10}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(5,5,1):
\frac{\partial f}{\partial y}(5,5,1)=\frac{z\,x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1\cdot 5}{50}=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}.
Este é o valor pedido na parte (b).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial z}(5,5,1):
\frac{\partial f}{\partial z}(5,5,1)=\arctan\!\left(\frac{5}{5}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(5,5,1)=-\dfrac{1}{10}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(5,5,1)=\dfrac{1}{10}
\dfrac{\partial f}{\partial z}(5,5,1)=\dfrac{\pi}{4}

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