Encontre a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 , em função das variáveis a, z e R. Se fizermos \mathrm{a}=0 e desejarmos que a diferença de pressão seja no máximo 70 kPa , qual deve ser a massa específica mínima do fluido de trabalho para que R seja no máximo 1 metro? Considere que há ar no restante da tubulação e admita sua massa específica desprezível.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em função das variáveis a, z e R.
  • Se fizermos a=0 e exigirmos que essa diferença seja no máximo 70\\ \mathrm{kPa}, determinar a massa específica mínima do fluido de trabalho para que R seja no máximo 1\\ \mathrm{m}. Foi dito que o restante da tubulação contém ar cuja massa específica é desprezível.
Informações dadas explicitamente: as variáveis nomeadas são a, z e R; há ar nas partes da tubulação que não estão ocupadas pelo fluido (massa específica desprezível).
Informação FALTANTE e crítica: não foi fornecida a figura/diagrama geométrico que relaciona os pontos 1 e 2 com as variáveis a, z e R. Sem saber exatamente onde estão os pontos 1 e 2 (alturas relativas, se estão em colunas abertas, se existe um menisco livre, se o fluido ocupa segmentos curvos, como a,z,R definem alturas/posições), não é possível escrever uma expressão única e correta que expresse \Delta p_{1-2} explicitamente em termos de a, z e R.

Passo 2

Princípio físico que governa o problema (aulas rápidas e claras). A lei de Stevin / hidrostática diz que, para um fluido incompressível em repouso, a variação de pressão entre dois pontos é determinada pela diferença de altura vertical entre eles:
\frac{dp}{dz}=-\rho g,
onde:
  • \rho é a massa específica do fluido (kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2),
  • z é a coordenada vertical (tomando sinal positivo para cima, por exemplo),
  • p é a pressão.
Integrando entre dois pontos 1 e 2 com alturas verticais z_1 e z_2 (mesmo fluido no caminho):
p_2-p_1=\rho g (z_1-z_2).
Observações didáticas:
  • Isso significa que a diferença de pressão entre dois pontos do mesmo fluido em equilíbrio depende só da diferença de alturas verticais ( h=z_1-z_2) e da densidade \rho.
  • Se no caminho houver trechos preenchidos por ar (densidade desprezível), esses trechos não contribuem significativamente para a variação de pressão (ou seja, você pode ignorar a contribuição do ar).
  • Portanto, para obter \Delta p_{1-2} em termos de a,z,R é preciso expressar a diferença vertical entre os pontos (ou entre superfícies de contato relevantes) em função dessas variáveis.

Passo 3

Por que a figura é essencial e que informação geométrica ela deve fornecer. Para transformar a fórmula genérica em uma expressão em termos de a, z e R é necessário saber, por exemplo:
  • as coordenadas verticais dos pontos 1 e 2 (valores z_1 e z_2) em função de a,z,R;
  • se os pontos estão em níveis conectados por uma coluna contínua do fluido (então a fórmula direta acima vale), ou se existe interface fluido–ar com níveis livres em dois ramos (então é preciso relacionar as alturas dos meniscos às variáveis geométricas);
  • se a é uma distância horizontal, se z é uma diferença vertical entre pontos, se R é raio de curvatura da tubulação, etc. Cada interpretação geométrica dá uma expressão distinta para z_1-z_2.
Exemplo de procedimento que eu usaria assim que a figura estiver disponível (passo a passo que você pode aplicar na prova):
  1. Identificar e marcar as alturas verticais z_1 e z_2 dos pontos 1 e 2 ou, alternativamente, as alturas dos meniscos/superfícies livres relacionadas aos pontos.
  2. Escrever a relação hidrostática ao longo de uma linha vertical contínua no fluido (ou somar contribuições de segmentos contínuos de fluido): p_2-p_1=\rho g (z_1-z_2).
  3. Substituir z_1 e z_2 por expressões geométricas em a,z,R extraídas da figura (por exemplo, trigonometria se houver arcos de círculo, raízes se houver relações pitagóricas, etc.).
  4. Simplificar para obter \Delta p_{1-2} em função de a,z,R e \rho.

Passo 4

Aplicação ao segundo item (a=0 e limite \Delta p \le 70\\ \mathrm{kPa}). Mesmo sem a figura, a estrutura da resposta numérica é padrão: se a diferença de altura efetiva entre os pontos 1 e 2 (isto é, a altura do fluido que gera a diferença de pressão) for denotada por \Delta h (obtida a partir da geometria com a=0, R e z), então:
\Delta p_{1-2}=\rho g\,\Delta h.
Queremos \Delta p_{1-2}\le 70\\ \mathrm{kPa}. Assim a massa específica mínima requerida é
\rho_{\min}=\frac{\Delta p_{\max}}{g\,\Delta h}=\frac{70\,000}{g\,\Delta h},
onde \Delta p_{\max}=70\,000\\ \mathrm{Pa} e g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Note que aqui \Delta h depende da geometria com a=0 (isto é, da relação entre z e R conforme a figura). Se a condição adicional é que R\le 1\\ \mathrm{m}, então para garantir R\le 1\\ \mathrm{m} precisamos avaliar \Delta h com R=1 (ou usar a expressão de \Delta h(R,z) para encontrar \rho_{\min} como função de z e R), e então calcular \rho_{\min} com R=1.

Passo 5

Resumo prático do que é preciso para obter o valor numérico que você pediu (e como eu o calcularia na prova):
  • Forneça (ou verifique na figura) a expressão geométrica que dá \Delta h (diferença de altura efetiva do fluido entre os pontos 1 e 2) em termos de a,z,R.
  • Substitua essa \Delta h(a,z,R) na fórmula \Delta p=\rho g\,\Delta h para obter \Delta p em função de a,z,R e \rho.
  • Para o caso a=0 e limite \Delta p\le 70\\ \mathrm{kPa} resolva para \rho:
\rho \le \frac{70\,000}{g\,\Delta h(0,z,R)} \quad\text{(portanto a massa específica mínima é o valor dessa fração)}.ííéçã
  • Se deseja que R\le 1\\ \mathrm{m}, avalie \Delta h(0,z,1) e calcule
\rho_{\min}=\frac{70\,000}{9{,}81\;\Delta h(0,z,1)}.

Passo 6

Conclusão direta e honesta: com o enunciado textual que você enviou NÃO É POSSÍVEL dar a expressão explícita final de \Delta p_{1-2} em termos de a, z e R, nem calcular numericamente a massa específica mínima, porque a figura/descrição geométrica que relaciona a,z,R às alturas dos pontos 1 e 2 não foi fornecida. O que eu já te dei e que vale na prova:
  • A lei física essencial: \displaystyle p_2-p_1=\rho g (z_1-z_2).
  • A forma de resolver o segundo item: \displaystyle \rho_{\min}=\dfrac{70\,000}{g\,\Delta h(0,z,R)}, e para R=1 usar \Delta h(0,z,1).
Se você quiser, posso agora:
  • (A) Resolver completamente o problema se você colar a figura (ou descrever exatamente a posição vertical de 1 e 2 em função de a,z,R), ou
  • (B) Mostrar um exemplo completo assumindo uma interpretação razoável da geometria (por exemplo, um manômetro em U com raios R, etc.), deixando claro que é um exemplo hipotético.
Força aí — se mandar a figura eu resolvo passo a passo até o valor numérico, do jeitinho mastigado que você pediu!

Resposta

Não é possível fornecer uma expressão explícita em termos de a, z e R nem calcular numericamente a massa específica mínima porque a figura/descrição geométrica que relaciona a,z,R às alturas dos pontos 1 e 2 não foi fornecida. De forma geral vale:
p_2-p_1=\rho g (z_1-z_2)
e, para a=0,
\rho_{\min}=\frac{70\,000}{g\,\Delta h(0,z,R)},
onde \Delta h(0,z,R) é a diferença de altura efetiva do fluido entre os pontos 1 e 2 (obtida a partir da figura).

Exercícios relacionados