Encontre a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 , em função das variáveis a, z e R. Se fizermos
e desejarmos que a diferença de pressão seja no máximo 70 kPa , qual deve ser a massa específica mínima do fluido de trabalho para que R seja no máximo 1 metro? Considere que há ar no restante da tubulação e admita sua massa específica desprezível.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em função das variáveis
, e . - Se fizermos
e exigirmos que essa diferença seja no máximo , determinar a massa específica mínima do fluido de trabalho para que seja no máximo . Foi dito que o restante da tubulação contém ar cuja massa específica é desprezível.
Informações dadas explicitamente: as variáveis nomeadas são
,
e
; há ar nas partes da tubulação que não estão ocupadas pelo fluido (massa específica desprezível).
Informação FALTANTE e crítica: não foi fornecida a figura/diagrama geométrico que relaciona os pontos 1 e 2 com as variáveis ,
e
. Sem saber exatamente onde estão os pontos 1 e 2 (alturas relativas, se estão em colunas abertas, se existe um menisco livre, se o fluido ocupa segmentos curvos, como
definem alturas/posições), não é possível escrever uma expressão única e correta que expresse
explicitamente em termos de
,
e
.
Informação FALTANTE e crítica: não foi fornecida a figura/diagrama geométrico que relaciona os pontos 1 e 2 com as variáveis
Passo 2
Princípio físico que governa o problema (aulas rápidas e claras). A lei de Stevin / hidrostática diz que, para um fluido incompressível em repouso, a variação de pressão entre dois pontos é determinada pela diferença de altura vertical entre eles:
onde:
-
é a massa específica do fluido (kg/m^3), -
é a aceleração da gravidade (m/s^2), -
é a coordenada vertical (tomando sinal positivo para cima, por exemplo), -
é a pressão.
Integrando entre dois pontos 1 e 2 com alturas verticais
e
(mesmo fluido no caminho):
Observações didáticas:
- Isso significa que a diferença de pressão entre dois pontos do mesmo fluido em equilíbrio depende só da diferença de alturas verticais (
) e da densidade . - Se no caminho houver trechos preenchidos por ar (densidade desprezível), esses trechos não contribuem significativamente para a variação de pressão (ou seja, você pode ignorar a contribuição do ar).
- Portanto, para obter
em termos de é preciso expressar a diferença vertical entre os pontos (ou entre superfícies de contato relevantes) em função dessas variáveis.
Passo 3
Por que a figura é essencial e que informação geométrica ela deve fornecer. Para transformar a fórmula genérica em uma expressão em termos de
,
e
é necessário saber, por exemplo:
- as coordenadas verticais dos pontos 1 e 2 (valores
e ) em função de ; - se os pontos estão em níveis conectados por uma coluna contínua do fluido (então a fórmula direta acima vale), ou se existe interface fluido–ar com níveis livres em dois ramos (então é preciso relacionar as alturas dos meniscos às variáveis geométricas);
- se
é uma distância horizontal, se é uma diferença vertical entre pontos, se é raio de curvatura da tubulação, etc. Cada interpretação geométrica dá uma expressão distinta para .
Exemplo de procedimento que eu usaria assim que a figura estiver disponível (passo a passo que você pode aplicar na prova):
- Identificar e marcar as alturas verticais
e dos pontos 1 e 2 ou, alternativamente, as alturas dos meniscos/superfícies livres relacionadas aos pontos. - Escrever a relação hidrostática ao longo de uma linha vertical contínua no fluido (ou somar contribuições de segmentos contínuos de fluido):
. - Substituir
e por expressões geométricas em extraídas da figura (por exemplo, trigonometria se houver arcos de círculo, raízes se houver relações pitagóricas, etc.). - Simplificar para obter
em função de e .
Passo 4
Aplicação ao segundo item (a=0 e limite
). Mesmo sem a figura, a estrutura da resposta numérica é padrão: se a diferença de altura efetiva entre os pontos 1 e 2 (isto é, a altura do fluido que gera a diferença de pressão) for denotada por
(obtida a partir da geometria com
,
e
), então:
Queremos
. Assim a massa específica mínima requerida é
onde
e
. Note que aqui
depende da geometria com
(isto é, da relação entre
e
conforme a figura). Se a condição adicional é que
, então para garantir
precisamos avaliar
com
(ou usar a expressão de
para encontrar
como função de
e
), e então calcular
com
.
Passo 5
Resumo prático do que é preciso para obter o valor numérico que você pediu (e como eu o calcularia na prova):
- Forneça (ou verifique na figura) a expressão geométrica que dá
(diferença de altura efetiva do fluido entre os pontos 1 e 2) em termos de . - Substitua essa
na fórmula para obter em função de e . - Para o caso
e limite resolva para :
- Se deseja que
, avalie e calcule
Passo 6
Conclusão direta e honesta: com o enunciado textual que você enviou NÃO É POSSÍVEL dar a expressão explícita final de
em termos de
,
e
, nem calcular numericamente a massa específica mínima, porque a figura/descrição geométrica que relaciona
às alturas dos pontos 1 e 2 não foi fornecida. O que eu já te dei e que vale na prova:
- A lei física essencial:
. - A forma de resolver o segundo item:
, e para usar .
Se você quiser, posso agora:
- (A) Resolver completamente o problema se você colar a figura (ou descrever exatamente a posição vertical de 1 e 2 em função de
), ou - (B) Mostrar um exemplo completo assumindo uma interpretação razoável da geometria (por exemplo, um manômetro em U com raios
, etc.), deixando claro que é um exemplo hipotético.
Força aí — se mandar a figura eu resolvo passo a passo até o valor numérico, do jeitinho mastigado que você pediu!
Resposta
Não é possível fornecer uma expressão explícita em termos de
,
e
nem calcular numericamente a massa específica mínima porque a figura/descrição geométrica que relaciona
às alturas dos pontos 1 e 2 não foi fornecida. De forma geral vale:
e, para
,
onde
é a diferença de altura efetiva do fluido entre os pontos 1 e 2 (obtida a partir da figura).